CHAPITRE YIII

et, en observant que réquation

donne

on aura

dt) '^\dt) '^\clt

dx d-jc dy d-y dz d-z d. c-

^ Tu 'dF'^ ^'Ift ~dC- ~^^~dt~dV- "~ dL

d.v- / dx dy „ dz >

dt \ dt dl dt

Et, comme X, Y, Z sont les dérivées partielles d'une même fonction F(^, r. :;), on aura

-. r/.r ^.dv r, dz dF(x,v,z) dt dt dt dt

vi l'équation précédente, intégrée entre deux limites quelconques, donnera

(2 ) niv' — mk'^ = 2F{x,y, z) — 3F(«, b, c),

fiy 6, f, A désignant les coordonnées du point et sa vitesse, à la première limite.

On a donné le nom de force vive d'un point au produit de sa masse par le carré de sa vitesse.

On voit donc que, dans le cas où ILdx -4- ^ dy -\- Ldz esi la différentielle d'une certaine fonction de x^ y., z considérées comme variables indépendantes, si un point matériel est soumis à l'action de forces dont les composantes totales |)arallèles aux axes soient X, Y, Z, l'accroissement de sa Ibrce vive, en passant d'un point à un autre quelconque, pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour par-

?.fio Dl" MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

venir au second et quelque ligne qu'il décrive entre les deux.

On peut dire plus généralement, d'après l'équation (2), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont Téqualion serait F(x, 7,;;) = C, avec une vitesse connue k dans une direction arbitraire, lorsqu'il arrivera en tm point de la surface ayant pour équation ¥(x,y, z) = G, sa vitesse c peut être déterminée de grandeur daprès ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite et du nombre de fois que ce point traverse succe-ssivemcnt la seconde surface.

L'équation générale de ces surfaces remarquables étant F(.r, j», :?) = c, c désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

Xd.T-hYdy^Zdz = o.

Cette équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z et dx, dj\ dz-, sont perpendiculaires Tune sur l'autre. D'où Ton conclut que la force dont les composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que l'on considère.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points: de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre, en quelque point de ces surfaces qu'il lut posé.

On leur donne le nom de surfaces de niveau.

Si la fonction l'{ .''tj'. z) ne peut se réduire à - pour des

valeurs réelles et finies de a:., >', ;, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun. Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M. Bertrand, le point matériel n'aura pas toujours la

inèmr vitesse en n^vcniuil à une même surfacr dt* nivciiu :

CHAPITRF VIII. 9.8 1

il faudra, pour cela, qu'il ait traversé un nomhrc pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d'où il était parti.

203. Si, outn» les forces dont les composantes totales X, Y, Z sont les dérivées partielles d'une fonction des variables j\ r, ;, considérées comme indépendantes, il y en a d'aulies, perpendiculaires à la trajectoire, on parviendra de même à l'équation (■2).

Ainsi, la proposition précédente a lieu pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et sollicité en outre par des forces telles, que

>oit une différentielle exacte par rapport à jc, y, z, ce qui n'aurait pas lieu s'il v avait un frottement ou la résistance d'un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonclions données de .r, )', ;.

204. L'expression \.djc -}-Y dy -^Xdz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes, et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.

En effet, soient «, b, c les coordonnées constantes de l'un quelconque de ces centres ; :r, j', :; les coordonnées variables du mobile, /• leur distance et R une fonction de r qui exprime la force qui agit sur le point donné suivant la droite (|ui le joint au centre que l'on considère. Les composantes de cette force seront

li^L^I^, H^-Z, R^iZli, /■ /• /•

si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive, ce que l'on pourrait effectuer en

^f'i Dl MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

changeant seulement R de signe. Les termes qui proviendront de cette force dans l'expression Xo^x -h Y dy ~Tdz seront donc, dans le premier cas,

Or, on a

{n — a;)dx — {b — y)dy -^ {c — z)dz'

d'où

(a — x)dx -^ {b — y)dy -h {c — z)dz:= — rdr,

ce qui réduit l'expression précédente à — Kdr. Elle devrait être changée en -+-Kdr dans le cas d'une force répulsive. Si l'on fait le même calcul pour les forces R', R", . . . , relatives aux autres centres fixes, on trouvera

Xdw -^ Ydy -t- 7.dz = ^= Rdr — R'dr'^zR'dr" -t- . . . ,

ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes :r, y, z-, puisque R est une fonction de /•, R' de /', etc.

On aura donc

-A--)=:qi f Rdr-: I R'dr'z^ ...,

/■(). /■(,, . . ., étant les valeurs de /•, /', . . ., correspondant à la première position. D'où l'on voil que raccroissemenl du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements (pii auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile, pendant qu'il passe de l'une des positions à l'autre.

20o. Si le point était s(^llicilé par une force constammeni perpendiculaire à un plan fixe, et dépenilanl unitpiemenl (Ir l:i distance à ce plan, les nu'mes conséquences auraient heu, parce (pie ce n'est, à proprement parler, (|ue le cas

CIIAPITHE VIII. 9.83

parliculier OÙ un ccnlrc serait Iransporlc à l'infini, dans une direction déterminée. Mais il est facile de faire directement le calcul qui s'y rapporte.

En prenant ce plan pour celui des x et j', les équations générales deviendront

^'■-k'-=9. f V\z)dz.

Si la fonction F est constante, par exemple s'il s'agit de la pesanteur à la surface de la terre, et qu'on prenne Taxe dos ;; en sens contraire de la pesanteur, on aura

et, par suite,

vu désignant j)ar h la valeur de z correspondant à la vitesse k. Les surfaces dont l'équation générale était F(.r, 1, xj) = o sont ici des plans horizontaux, et l'on voit (jii'un point matériel libre, ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et qui part d'un ])oint quelconque dun ]>lan horizontal donné, avec une certaine vitesse, parviendra à un plan horizontal quelconque avec une vitesse qui ne dépendra nullement de la courbe qu'il aura suivie pour y arriver, mais seulement de la distance de son point de départ à ce plan.