CHAPITRE IX

colU' force ; en la réunissant à celles qui sont données, le point pourra donc êlre considéré comme libre, et les équalions générales de son mouvement seront, en désignant par X, Y, Z les composantes de la force accélératrice,

-7-7 r= X -^ N CCS À, -7^ =: Y — N ces a, -7^, =; Z -^ N COSv. dt- ' df- ' dt-

La direction déterminée par les angles a, jj., v étant perpendiculaire à la tangente, on aura

doc cosX -{- dy ces a -t- dz cosv = o

et, de plus,

ces* X -+- cos^ a -t- cos^ 7 = 1.

On a donc sept équations entre les huit quantités x^y^ ^, A, [jL, V, N, t; et il sera toujours possible d'exprimer les sept premières en fonction de t. Quand on y sera parvenu, tout ce qui se rapporte au mouvement du point sera déterminé. Lorsque l'on a

X dx H- Y dy -r'Ldz=zdo[x,y,z),

les équations précédentes donnent

d.T d^.v -1- dv d^v -h dz- d^z

df" et, en intégrant,

dx- -+- dy- -+- dz-

dl-

La constante C se déterminera par la valeur de la vitesse r au point de départ. D'ailleurs, les équations de la courbe, résolues par rapport à x et v, donneront

L équation précédente deviendra donc

d'où

dt^dz-h{z),

'h{z) désignant une fonction connue de ^ ; on tirera de là

(= ('dz-<Az)-a,

■.fd.-H =

C étant déterminé par la valeur initiale de :;. On connaîtra donc ainsi z en fonction de ^, et, par suite, x et j' le seront d'après les équations de la courbe.

En appliquant ces calculs au cas où la courbe est un cercle vertical, on aura à faire une intégration qui exigera l'emploi des séries. Quand le mouvement sera oscillatoire, il sera celui d'un pendule simple. On en trouvera le détail dans tous les Traités de Mécanique. Il y a une courbe qui donne un résultat remarquable, c'est la cvcloïdc placée de manière que son axe soit vertical. On reconnaît lacilement que, dans ce cas, les oscillations ont la même durée, quel que soit le point de la courbe d'où parte le mobile sans vitesse initiale. Cette propriété avait fait penser à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple dont l'extrémilé décrirait des arcs de cycloïde. Mais un pendule simple n'est pas réalisable et offrirait d'ailleurs de graves inconvénients, par les résistances et par la construction même des appareils. C'est pour cela qu'on y a renoncé et (pi'on n'emploie que le pendule circulaire; et ce n'est pas un pendule sinq)le qu'on cherche à réaliser, c'est au contraire un corps d'une masse assez considérable, et dont les oscillations suivent les mêmes lois que celles du pendule simple, comme nous le verrons [)lus tard. Ces calculs, au reste, ne sont pas indispensables pour ht construction des pendules qui servent à tii<'>iirrr le temps, cl (pu si" règlent sur le mouNenient diurne des astres.