CHAPITRE X

DU MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACt: MATÉRIELLE.

207. En supposant que celle surface ne puisse faire naîlrc aucun frollement, son action ne peut consister qu'à produire sur le point une force normale, qui peut avoir l'un (|uc]conque des deux sens, à partir du point sur la normale à la surface. Désignons celle force par N, par a, ;j., v les angles que sa direction fait avec les axes, et supposons (lue le point ait une masse égale à l'unité, les équations du mouvement seront

-j— -X -4- xXcosX, -77:^ = V 4- Ncosy-, -7-, —Z -h Noos V, al- al- al- '

et, si F ^= o est l'équation de la surface et qu'on pose

y \dx

clx) ^\dy) ^\dz)

d¥ ^dV V/F

C05/ n: V — — , CCS a ;= V -7— j cosv -— V — — . ax ' clj dz

Le double signe de V correspond au deux sens de la normale, et le calcul fera connaître en chaque point le signe qui conviendra.

Si l'on substitue dans les premières équations les valeurs

288 m MOIVEMEM PRODUIT PAR LES FORCES.

de coSA, cos;j., cosv, on aura

\ dt- dz

Eliminant N entre ces trois équations, on aura deux équations qui, jointes à F(x, y^ z) = o, délermineront x, y, z en fonction de /, et toutes les circonstances du mouvement en résulteront.

Ces calculs, en général impraticables, se simplifient cpiand on a

Xda^^Ydy^Z dz - d o{j:, > , c )

et, par suite,

G désignant une constante arbitraire, déterminée par l'état initial.

En effet, les équations (>) donnent immédi.ttcnient les deux suivantes :

[ d.r -— - — dy -^— — \ d.v - \ dv -r-W\ -,— dur ^dy i

\ dt^ • dt^ " \dY dx •'/

1 , d^z , d'.r ,, ^ ^, , .,,Yr/F , //F , \

/ <-/■' -r^ — ^/- -TV ' l^ dx — X f/c -H N^ -j- dx T-dz\-

' dt- dt- \dz dx '

Or, en différentiant, par rapport à une variable qu<'lc«)ii(pir, ridentilé

dy

dy dt

dx ~ dx

~di

on trouve