CHAPITRE \ll
seront
da
dy'
dy dh
dz'
dz dr
dt ~ dl
-jr
Tiï^
~~~dt dr
dt ~
'~ Tt" TTl
On voit par là (|uo lu vitesse initiale de M , ou la vitesse relative, est la résultante de la vitesse initiale de M ri dr la vitesse initiale de V, prise en sens eontraire.
C'est ce qu'il est facile d'établir géométriquement, comme udus lavons fait clans V Introduction du Cours de Méca-
nique.
i^es équations (3) donnent
, d-x' d-u d-a d-y' d'-y ^'^ dt- dt- dt-' dt'' dt-
dH^ dl- '
d^z' dt-~
d-z ~ df-
rPc dt*-
Or, les seconds mendires de ces équations sont connus. En
eliet, — 7-r > — TT-j —r-r sont les composantes de la force acce- ' dl- dt- dl- ^
iératrice appliquée au point .M; ce sont donc des fonctions
connues de .r,j>% c, /.
uant a — r-r' -nr-> — r- » d V a deux cas a considérer, oi dl- dl- dl-
I on donne le mouvement de l'origine A, ce sont des fonctions connues de /, et les seconds membres des équations (4) sont des fonctions connues de .r, y, z. t, et, par -iiite, de x' , r\ :■'. ('.
Mais si Ion connaît seulement la force accélératrice qui
donnerait a un point le mouvement même de A, -rv "^TT^'
fl-c , , r
-jji seront les composantes de cette lorce, et, par suite,
des fonctions connues qui pourront renfermer «, b, c, L. Mais rt, ^, c pourront se déterminer séparément, puisque Pon connaît l'éiat initial de l'origine V et la force ac-
■f-^G m MOI VKMENT PRODilT PAR LES FORCES.
célératrice (jui lui est appliquée; on connaîtra donc le
mouvement de ce point, et l'on rentre dans le premier cas,
. rl*a d-b cPc ^ c • i t i
ou -7-r5 —rz^—7—. sont des fonctions connues ne /. Les seconds at- rit- dV-
rnembres des équations (4) deviennent donc encore des fonctions de x' , y', z', /; en les intégrant, on aura x' ^ y\ z' en (onction de t, et le problème sera résolu.
212. Les équations (4) font connaître immi'-diatement la force qu'il faudrait appliquer à un point, pour (ju'il eût un mouvement absolu identique au mouvement relatif cliercbé.
En effet, dans ce mouvement absolu les coordonnées du point ont les mêmes valeurs que x\ v', z'; les premiers membres de (4) sont donc les composantes de la force accélératrice dans ce mouvement, c'est-à-dire de la force accélératrice relative. Or les premiers termes des seconds membres sont les composantes de la force donnée, les seconds termes changés de signe sont les composantes de la force accélératrice qui donnerait à un point libre le mouvement même de l'origine; les équations (4) expriment donc^ l;i proposition suivante :
La force accélératrice relative est la résultante de la force donnée et de la force égale et opposée à celle qui produirait le nmurenwnt fie l'origine.
L'état initial du mobile dans ce mouvement absolu se déterminerait comme nous l'avons indicjué.
Cette proposition peiil mcore se dciinirc de considérations géométriques, comnir mous le ferons \oir tout à rheurc dans le cas «rénénd.
CIIAPIIRE XIII.
MOUVEMENT D UN POINT PAU RAPPORT A UN SYSTEME RIGIDE ANIMÉ D UN MOUVEMENT CONNU QUELCONQUE.
213. Lors(|iie le svslt'mc rigide n avait qu'un mouvemenl de translation, nous avons pu supposer iiididV'remmctit que ce mouvement était connu, ou que Ton donnait seulement les forces capables de produire sur un point matériel le mouvement même d'un point du système mobile. Dans le cas actuel, nous supposons connu le mouvement de ce système, parce que le problème de sa détermination d'après des forces données serait trop compliqué, et d'ailleurs nous n'avons pas encore fait connaître le moyen de le mettre en équation. En conséquence, nous prenons comme donné le mouvement de trois axes liés au système; de sorte que les coordonnées de leur origine, ainsi que les angles formés par ces axes avec les axes^xes de coordonnées, seront des fonctions connues du temps; et la question a toujours pour objet de déterminer en fonction du temps les coordonnées par rapport aux axes mobiles, du point donné qui est sollicité par une force absolue donnée.
Les équations qui lient les coordonnées du point parraj)j)orl aux axes fixes et aux axes mobiles sont
l a: = ; -i- ax' -+- by' -~- cz' , (i) \y=r,-i-a'a:' -hb'f-i-c'z',
Comme nous lavons dit^ ;, r„ Z, a, />, r, </', b\ c', a". b'\ c" sont des fonctions données du lem|)s, ei il s'agit de trouver
•<9^ Dt" MOlvr.MKNT PRODlll PAR LES FORCES.
./■', i', z' en fonction du temps, l^our obtenir des équations
pro|iios à déterminer ces trois quantités, il suffit de remar-
((uei- que I on donne les expressions de -r^^ -pr? -r^' qu'
sont les composantes de la force accélératrice agissant sur le mobile; ces expressions peuvent dépendre du temps / et des coordonnées .r, y, z- qui s'exprimeront en x' , y', z' , iiu niuven des équations (i). On voit donc qu'en différenli;mt deux fois ces dernières, on aura trois équations différentielles du second ordre entre jr' . y\ z', t. En les intégrant, on aura û:', r', z' en fonction de / et de six constantes arbitraires qui se détermineront au moyen des valeurs
... , , , , djc' dv' dz' iiitiales de x , y .
et ces valeurs scroni
• dt (Il dl '
connues au nioven des équations (i) el de leurs premières
tiérivécs, puisqu'on connaît les valeurs initiales de x, y. z.
dx dv dz r 11. 1 1» .1
-1- y -y-' —r' ^^c problème sera donc complètement résolu.
La première différentiation opérée sur les équation*; ( T^ tlonne
dl
1 f/l , do
~'\dt~^'' di
, dh -> -di
. dc\
- ' dt )
( dx'
-\" di
dz'\
- ^ di
\dy
j dt
. dl, ' 'dl
dt )
di
. dz \
■'■ir)'
dz
dt
"'\dl dt
,dc'\
1 „ dx ['' -di
-^ di
di '
Le- pri'iiiuii-. |i. Il lies dc> second> uicmbii^ ndhi |.> \,i-
niAPITRK \Iir. 9-9^)
, . . (Lr fh il: . , , , , •
l<Mir> (III auraient -7-1 —^ -7- si j" , ) . ; elaienl C(»nstaiils; ' (Il (il (Il
< c sont (Jonc li-s composantes parallèl*"S à u", 1', ; de la vilessc absolue du point du s\stèine qui coïncide avec le mobile, dans la position quelconque où on le considère : les secondes |)arties sont les composantes de la vitesse relative, parallèlement aiix axes des x. )\ z. Les équations (9.) expriment donc que la vitesse absolue du point est la résul- I aille de sa \itesse relative, et de celle du point rlii svstènie (pii coïncide avec le mobile daii> la position que Ion considère. Kt. par conséquent :
Lu ri/pssr 1(^1(11 ne du mobile es/ lu icsiilttinte de su riiesse (thaolue et de la vitesse, prise en sens contraire, du point du système qui coïncide (nec la position (fue l'on considère du mobile.
("i"esl ce ipie \\m peut facilement établir sans calcul. \ ove/. (ou/s (If M('>iiinique .\
, , , , , , (1- y d- 1 ■ fl- z ,.
21 t. Les valeurs de — tt-» — tt ^ — rr- Qn<' loiiriiisseiil ces df- dt- (II- 1
l'qualions ( i) diflérentiées deux lois, et qui sont les composantes de la force accélératrice relati\e. piésentenl une décomposition de celte force, beaucouj) plus complicpiée que dans le cas où le svslème n'a qu'un simple mouvement de translation. Cette décomposition olfre de lintérèt, bien (pi'elle ne dispense pas des calculs que nous venons dindiipier; c'est M. Coriolis qui l'a fait connaître, et l'a déduite de
, ,. , . . d-jr' d-y' d- z' ,, .
la forme des expressions de , , > —H-i —nr- ->lai> on peiil * dt- dt- dt-
V parvenir facilement par la décomposition i;éomélri(|iie de la déviation relative.
D'après la définition que imuis avons donnée de la dévialion, on obtiendra la déviation relative du mobile en une quelconque de ses positions M. en cboiclianl sa position
'3oo
relative après un temps infiniment petit 0, et la joignant à la position qu'aurait sur la tangente à la trajectoire relative, un point partant de M en même temps que le mobile, avec une vitesse constante égale à la vitesse relative du mobile en M. Elle sera la déviation dans le mouvement absolu,
identique a»i mouvenicnt relatif; et en la divisant j)ar — >
on aura l'expression de la force accélératrice dans ce mouvement absolu, ou de la force accélératrice relative. Nous allons montrer comment cette déviation relative peut être décomposée en d'autres plus simples, d'où résultera la décomposition de la force elle-même.
Soient M(/ig. 24) iin^ position quelconqu(> du mobile, MU sa trajectoire absolue. Ml/ sa trajectoire relative,
c'est-à-dire la courbe (pii, liée au >\slènie mobile, renferme toujours la position absolue du point; Mli| la Irajeetoii-e absolue* du jioint du sxstème qui eoïnridait awc le mobile en M. Si l'on preiul sur les tangt'nles aux courbes Ml)', MU, des (juantités Ml", MT, égales aux («spaees que pareoinraieul. d;uis un tem|>s iidiniment petit 0, des niobib*-* partant de M. l'uti a\ee la \ilesse relative, l'autre avec la vitesse du poiui M du ^\>lèu\e, ces quantités pcuuront représenter tes \ilessts, cl la diagonale MT du parallélo-
