CHAPITRE xm. 3oi

ij;iainm(' J 'MT, J' rcprésenlera en direction et en grandeur la vitesse du point sur sa trajectoire MU; de sorte qu'un point partant de M avec, cette vitesse se trouverait en 'V après le temps fj.

Cela posé, soient ///, ///, ///, , après ce même temps (j, les positions des points qui décrivent les trois courbes en partant de M; la courbe MU' sera transportée avec le système, auquel elle est liée, et par conséquent la position m' du point mobile se confondra avec sa position absolue m. et le point M du svstème sera en ;/?, ; de sorte que. pouiavoir la position du système après le temps 0, il faudra lui donner un mouvement de translation qui amène M en ni t. et ensuite un mouvement de rotation autour d'un axe passant en /;?, et dont la direction différera infiniment peu de l'axe instantané correspondant au point infiniment voisin M.

Maintenant il est lacile de voir que les lignes Tni, T' /«', Vf m, sont les déviations, dans le mouvement absolu du mobile, dans son mouvement relatif, et dans le mouvemeni du point du système. Elles donneraient ces forces mômes

en les divisant parla même <{uantilé — ; elles peuvent donc

être prises pour représenter proportionnellement ces trois forces.

Pour reconnaître la dépendance qui existe entre ces lignes, il faut effectuer le mouvement du système et reconnaître sa position après le temps 0.

Nous décomposerons le mouvement de translation parallèle qui amène M en /n^, en deux mouvements, dont le premier amènerait M en T,, puis de T| en /n,. Tous les points du SNStème auront des mouvements identiques. La première translation amènera T' en T; la seconde l'amènera en m", en menant Tni" parallèle et égale à T, ///,. Il ne reste plus qu'à effectuer la rotation autour d'un axe m, 1

passani j)ar /y?|, et le système sera parvenu à la posiliuii qu'il occupe réellement après le temps 0, et dans laquelle "le point ni' est le point m lui-même, de sorte qu'il n'est nécessaire de s'occuper que du mouvement de /«". Soit ;j. la position où la rotation Tamène ; en joignant ce point à m, la liîjnc \}.in représentera en direction et en grandenr la déviation relalixe T'///'.

Le quadrilalrrc Vni'j.ui' donn»^ la solulioii de la (piestion. En efleU Vm est la déviation dans le mouvement absolu du point , \}j)i la déviation dans le mouvement rela tif, Vm" celle du mouvement du point du système. Il ne reste donc qu'à reconnaître la grandeur et la direction du quatrième côté m";x, et l'on connaîtra les trois forces dont on pourra considérer la force relative comme la résultante. Ce côt('' nf[}. est un arc de cercle décrit ])ar ni tournai' I autour de ///|I, que l'on peut considérer comme ])arallèle à l'axe instantané au point M: et la \ilesse angulaire avec laquelle s'opère ce mouvement peut être regardée comme la même que la vitesse angulaire m autour de l'axe instantané en M : car il ne j^eut résulter de là que des erreurs infiniment petites par rapport à la quantité à cidculer. J/angle (h'cril par le sNstème autotn* de l'axe en nxy peut donc être considéré eomnu' égal à «oO. Pour avoir le raNon de l'are ///"y., il faut al)aiss(M' de ///' une per- |>rii(lirulan-e sur ///,l. cpii est égalr à ni ^ nt sine. 'J élanl raiigle de m y ni' .ivcc /;/ , I. on de la îangciitr à la trajectoire relali\e a\<'c I axi- ni^t;int;inc. ( )r. ■<! Ton désignr par r, la vitesse relali\e. on aura

donc ;j./// sera égal an produit de » , 0 ^in : pur (.)0. cl. par eonS(''(piriil .

•/.///" »',.(.>0'- "'iii 0

( Ml, Mil .1 l.i direction lin \\\\{- ni-)., elle e^t e\ ideniincnt

illVI'lTHi; Mil. \o'\

perpendiculaire au plan l/n^/n", ou à uu j)laii pa.ssaul par

l'axe instantané et la direction de la vitesse relative, (;t le

sens du mouvement qui Ta décrit est celui de la rotation

autour de Taxe instantané.

Si maintenant on regarde les quatre cotés du (piadii-

latère comme représentant'des forces, [jj?i sera la résidtanlc

lies trois forces y./n", fn"T. Tni ou Tm. /??, T,. -j.nf". cl.

♦ 'u les divisant par — ) on aura la proposition suiNantc :

La force accélératrice relative est la résultante tic trois forces accélératrices.

La première est la force appliquée au point mobile.

La seconde est, en sens contraire, celle qui donnerait à un point libre le mouvement du point du syslènie qui coïncide a\,'ec le mobile à l'instant que l'on considère.

La troisième est ii/tosin o; ,vc/ direction est pcrpc/idiculaire au plan mené par l'axe instantané et la direction de la vitesse relative., et dans le sens opposé au inoucement de rotation du système

215. On passera de ce cas général au cas [)lus simple pai lequel nous avons commencé, en supposant nul le mouM-rnent de rotation; la troisième composante disparaît alors cl il reste les deux premières. Ou retombe ainsi sur le résultat obtenu précédemment.

Si le mouvement du système consistait dans une simple translation uniforme et rectiligne, il ne resterait que la force donnée, et la proposition précédente se réduirait à dire que le mouvement absolu, identique au mouvement relatif, ne déj)end que de l'état initial relatif et de la force doniK'c. et nullement du mouvement des axes, ce qui n'est autre chose cpi'un principe que nous avons admis comme résultat d'expériences.

3o4 01 MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

216. Enlin considérons le cas où le système a un mouvement de rotation uniforme. Dans ce cas, la seconde composante de la force relative est précisément la force centrifuge en ce point; la troisième composante esttoujoursamwtvsinS. Voyons ce que deviennent ces expressions ; et prenons, pour fixer les idées, le cas où le système rigide est la terre. Nous considérerons ici la terre comme ayant un mouvement uniforme de rotation autour de son axe immobile, et n'étant soumis à aucune action étrangère; la rotation entière s'effectue dans un joui" sidéral, cest-à-dire dans un temps exprimé par le nombre 86 i64; en prenant la seconde pour unité; d'où résulte

ce qui est une très petite quantité. L'angle s est celui que fait la vitesse relative avec Taxe de la terre, ou le complément de celui qu'elle fait avec l'équateur; de sorte (lue r, sine est la projection de la vitesse relative sur l'équateur.

En supposant la \itesse relative peu considérable, la troisième composante est très petite par rapport aux deux autres; et, si on la néglige dans une première approximation, on arrive à la proposition suivante :

Le mouvement apparent d'un point à la sur/ace de la terre peut être calculé en supposant la terre immobile, et joignant la force centrifuge à celles qui agissent effectivement su/- ce point.

Si l'attraction de la terre est la seule lorce agissant sur If j)oinl, on retombe sur le résultat déjà obtenu dans le calcul de la force qui sollicite les tt)rps à l'étal de repos, en tenant compte du mouvement de rotation de la terre.

La composante que nous avons négligée produit des perliirbalioiis dont nou> ne parlerons pas ici. C'est elle qui

CIIAPITKE Mil.

produit le phénomène, observe depuis longtemps, de la déviation des corps vers l'est, quand on les abandonne sans vitesse à l'actioa de la pesanteur. C'est encore elle qui produit le mouvement du plan d'oscillation d.u pendule, mouvement que Poisson avait pensé devoir être insensible, à cause de la petitesse de cette force, mais dont les belles expériences do M. Foucault nous ont fait connaître la réalité.

217. Remarque générale. — Le mouvement relatif coïncidant avec un mouvement absolu dans lequel l'état initial serait le même que létat relatif initial, et dans lequel hi force serait la résultante de la force donnée et des deux forces fictives, c'est-à-dire la force relative, il s'ensuit que toutes les propositions démontrées dans le mouvemenl absolu d'un point libre, subsisteront dans le mouvemenl relatif, en v considérant le point comme soumis à l'aclion de la force relative. Nous allons en donner quelques exemples.

218. Principe des aires dans le mouxetnent relatif. — La remarcpie que nous venons de faire nous donne immi'diatement les conséquences suivantes :

Lorsque la force relative d'un mobile passe constamment par un même point du système en mouvement, la trajectoire relative du mobile est plane^ et le rayon vecteur, mené du point constant au mobile, décrit des aires relatives proportionnelles aux temps correspondants.

Et réciproquement :

Si le rayon vecteur mené d' un point constant du système au mobile décrit des aires, dont les projections sur trois plans rectangulaires liés au système croissent proportionnellement aux temps ; ou, en d'autres termes, si la trajectoire relative d'un mobile est plane, et que les aires ncH. — Mcth. IV. j.)

3o6 m MnivEMENT l'RODi rr I'\r les forcfs.

décriles par son rayon vecteur partant d'un point constant de ce plan, croissent proportionnellement au temps, la force relative qui agit sur le mobile passe à chaque instant par. ce point ronstant.

219. Eipidlion des forces vii'cs dans le mouvement relatif d' un point libre. — En considérant le mouvemenl aljsolu qui est identique au mouvement relatif du mobile, lu moitié de l'accroissement de la force vive dans ce mouvemenl, pendant un temps infiniment petit, sera égale au travail des forces pendant ce même temps. Donc, eu introduisant les dénominations du mouvement relatif, le travail élémentaire de la force relative est égal à la moitié de la force vive relative, correspondante au même temps. Or le liavail dune force est égal à la somme de ceux de ses composantes, et le travail relatif de la troisième composante de la force relative est nul. [)uisque celte force est perpcndiculaii'c à la vitesse relative, et, par conséquent, à la trajectoire relative. On peut donc énoncer cette proposition :

D't/is b' niou\iiiienl relatif d'un pidnl libre, la inoitir de raccroissenii'nl de la forre rive, dans un intervalle infiniment petit, est énale au travail rorresponditnt de la force réelle, plus au travail de bi forer d inertie (/ue produirait le point, s'il était lié au systé/ne et l'instant que l'on considère.

220. thi mouvement relatif d' un point qui n'est pas libre. — ( ionsidérons mainlenant \r cas où le mobile dont on elierclie le mouvemenl relatif ne serait pas enlièremcnt libre. 11 prnl èlic lit- par niir ou par tliii\ ('>(]uations, et ces ('•(pialions peuvent renfermer d'une manière cpudconque le temps, ainsi «pie les coordoruiécs absolues cl relatives du point. C^onime les écpialions de transformation des coor-