CHAPITRE XVI. 3j

équivalentes à celles que l'on aurait obtenues en éliminant /, variations, comme nous l'avons d'abord Indiqué; mais ce procédé a l'avantage que nous avons déjà reconnu, quand MOUS l'avons appliqué au principe des vitesses virtuelles : il détermine les forces dont les équations de condition tiennent lieu; et les valeurs des quantités X, ;j., v, . . . feront connaître les efforts qu'éprouvent à chaque instant les liens qui assujettissent les points à satisfaire à ces équations.

Si le système est déterminé par d'autres variables que les coordonnées de ses points, on suivra toujours la même marche; et l'application du principe des vitesses virtuelles fera toujours connaître autant d'équations qu'il y a de variables indépendantes; de sorte qu'en les joii^nant aux équations de condition, on pourra toujours déterminer toutes les variables en fonction du temps : ce qui est précisément l'objet <[ue l'on se propose.

233. Drterininntion des constantes. — Les constantes introduites par l'intégration des ?>n — /c équations différentielles, seront au nombre de i\n — 2 /• ; et on les déterminera par les données de l'état initial, c'est-à-dire au moyen des positions de tous les points, ainsi que des grandeurs et des directions de leurs vitesses, à un certain instant, qu'on prendra pour origine des temps. Ces positions initiales ne sont pas entièrement arbitraires, parce que leurs coordonnées doivent satisfaire aux k équations données: de sorte qu'on ne peut se donner arbitrairement que 3/t — A" de ces coordonnées. De même aussi, les composantes de leurs vitesses doivent satisfaire aux k équations qu'on obtient entre

-j-j -~-, • • • j en différenliant les k équations données ; d'où

il suit qu'on ne pourra se donner arbitrairement que3/i — k composantes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l'état

346 nu MOLVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

initial soit complètement déterminé, ce qui est indispensable, il faut que l'on se donne 6/i — a A' quantités, qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement; mais on ne peut pas s'en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentielles, on aura, pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d'abord les k équations données, et ensuite Zn — k équations, renfermant 6n — ik constantes arbitraires. Les 3/i — / équations devant être satisfaites à ciiaque instant, on y fera f = o, et l'on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales ; il en résultera 3/j — k équations entre les constantes et les quantités connues; les k équations restantes seront nécessairement salislaites, puisque l'on a dû choisir les coordonnées initiales de telle sorte que les liaisons exigées aient lieu. Différentiant ensuite les 3/i — k équations entre les coordonnées, on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses; et, si Ton y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes, on aura Zn — k nouvelles équations entre les constantes arbitraires cl des quantités connues. On aura donc ainsi (3/; — 2 A équations pour déterminer les 6/7 — ik constantes; et alors les coordonnées de tous les points (hi système seront complètement déterminées en fonction ihi temps.

L'application de celte méthode à des exemples choisis est nécessaire pour en bien saisir l'esprit, mais nous ronvovons pour cela aux Traités spéciaux. ISous ne nous proposons ici que d établir les idées fondamentales et les théories qui •■((iisliliictil la partie élémentaiic de la Science des forces.

CITAriTRE XVII.