DU MOUVEMENT RELATIF D UN SYSTÈME

254. Si tous les points matériels qui composent le système étaient entièrement libres et indépendants les uns des autres, on rentrerait dans la théorie du mouvement rclatit d'un point libre; et il suffirait d'introduire en chaque point les deux forces fictives, définies dans le n° 214, pour que le mouvement relatif du système fut ramené à un mouvement absolu.

2oo. Supposons maintenant que certains points du système soient assujettis seulement à rester sur des surfaces ou des courbes données, fixes ou moljiles, constantes ou variables de forme. Il en résultera pour ces points des forces inconnues normales à ces surfaces ou à ces courbes. Si Ion en connaissait les valeurs, en les joignant aux forces données, les points pourraient être considérés comme libres, et 1 on rentrerait dans le cas précédent. Il suffirait donc d'introduire en chaque point les deux forces fictives dépendantes du mouvement des axes, et Ton serait encore ramené au mouvement absolu. Mais, bien que ces forces normales soient inconnues, on peut toujours les introduire comme si elles étaient connues. Le nombre des quantités à déterminer sera augmenté; mais le nombre des équations le sera également. En efl'et, les coordonnées d'un point assujetti à rester sur une surface doivent constamment satisfaire à l'équation de celte surface. Si le point est assujetti à rester sur deux surfaces, ou en d autres termes sur une courbe donnée, il

348 DU MOlVEMrXT PRODUIT PAU LES FORCES.

s'inlrodull deux forces inconnues, normales à ces deux surfaces; mais, en même temps, on a deux équations entre ses coordonnées : de sorte que le nombre des équations augmentera toujours autant que celui des inconnues, et le problème sera entièrement déterminé. Les équations de ces surfaces ou de ces courbes pourront être données en fonction du temps et des coordonnées absolues ou relatives, et on les exprimera dans celui que l'on voudra de ces deux systèmes, au moyen des formules de la transformation des coordonnées.

2o6. Si deux points du svstèmc étaient assujettis à rester à une distance constante l'un de l'autre, comme cela arrive souvent, il naîtrait de là deux forces égales et contraires, dirigées suivant la droite qui joint ces points et appliquées respectivement à chacun d'eux. En introduisant ces forces, les points peuvent être considérés comme libres, mais on devra exprimer que leur distance est constante : ce qui fournil une nouvelle équation en même temps qu'il s'est introduit une nouvelle inconnue qui est la grandeur de la force. Ces conditions peuvent se multiplier indéfiniment. Le même point peut être lié à un nombre quelconque d'autres points, et assujetti à rester sur une ou sur deux surfaces. Chacune de ces conditions introduira toujours une inconnue et une équation, et le problème sera dt-lerminé. De ce qui précède, on déduit la projxjsiiion suivante^ :

Lorsijuc (libers pi>ints<r un systrnie m nioin'cmcnt sont assif/i'llis à rester à des dislances constantes les uns des autres, ou à demeurer sur des surf aces ou des lignes variables de position et de forme, le mouvement de ce sy sti'me relnlni'ni('i>t n trois axes mobiles sera identiiiue à un mouvement /i(»solu qu'on déterminera de la manière suivante par rrf/>/)ort à des a.res /i.res : on fera partir le système d'un état initial idmiitjue à l'état relatif initial;

rnvpiTRE XVII. 349

on appliquera d'abord en chaque point des forces dont les composantes seront e.rpriméespar les mêmes fonctions du temps et des nouvelles coordonnées absolues, que les forces données le sont au moyen des coordonnées relatives ; on y joindra les forces fictives telles cju' elles ont été déterminées dans le cas d'un point libre ; enfin les points seront assujettis à conserver les distances données les uns avec les autres, et à se mouvoir sur des surfaces ou des courbes ayant pour équations, par rapport aux axes fixes, les équations données exprimées en coordonnées relatives aux axes mobiles.

257. Cas général. — Les conditions que nous venons dexaminer sont celles qui se rencontrent le plus ordinairement. C est pour cela seulement que nous les avons présentées en premier lieu, car nous aurions pu commencer par le cas, tout à fait général, dont nous allons maintenant nous occuper.

Supposons que les liaisons du svstème soient exprimées par des équations renfermant le temps et les coordonnées

absolues x^ 1', z, x\ y\ z\ x" ^ y", z" dun nombre

quelconque de points, M, M', M", . . . Nous avons démontré que le mouvement absolu sera le même que si l'on supprimait les liaisons et que Ion introduisit en chaque point des forces déterminées par les équations qui expriment ces liaisons. Ces forces, pour un point quelconque M avant j>our coordonnées x, y, z par rapport à un svstème quelconque d'axes, sont normales aux différentes surfaces que Ion obtient à l'instant que l'on considère, en regardant x,y, z comme seules variables dans toutes les équations où elles entrent; et les valeurs des composantes de ces forces, parallèlement aux x, y, z, sont les produits des dérivées partielles de ces équations, relativement à x,^', z, par un facteur commun c[ui nest pas donné, et qui est le même

35o nu MOIVEMEXT PRODUIT PAR LES FORCES.

pour toutes les dérivées provenant de la même équation ; en sorte qu'il y a autant de ces inconnues qu'il v a d'équations ; et qu'il est possible, par conséquent, de déterminer, non seulement les coordonnées de tous les points à chaque instant, mais encore les grandeurs et les directions des forces qui pourraient être substituées aux liaisons, et permettre ainsi de considérer tous les points comme entièrement libres.

Tout cela étant rappelé, il est clair (juc, si nous concevons introduites ces forces qui remplacent les liaisons, nous retombons dans le j)remier cas ; et le mouvement relatif cherché coïncide avec un mouvement absolu dans lequel ces mêmes forces seraient ajoutées aux proposées et aux forces fictives qui se rapportent au mouvement relatif d'un point libre. Mais comme les forces provenant des liaisons renferment des inconnues nouvelles en nombre égal à celui des équations données, il faudra employer ces équations à leur (li'lerminatioii; afin tl'avoir en tout autant d'équations que d'inconnues.

Observons maintenant que si, dans toutes ces é(pialions où nous a\ons supposé qu'il n'entrait que des coordonnées absolues, on remplace celles-ci par des coordonnées relatives, au moyen des formules ordinaires de la transformation des coordonnées, rien ne sera changé dans les conditions des liaisons. Or, à un instant quelconque, on peut supposer qu'on j)renne pour axes de coordonnées trois droites coïncidant avec les axes mobiles dans la positiou (Hi'ils o((U|)('nt à cet inslanl. Los é([ualions de liaison seront les éipiations proposées exprimées au mo\en des coordonnées rclalives. Les forces à introduire auront leurs conq>osantes suivant ces axes, représentées par les dérivées partielles des écpiations par rapport aux coordonnées relatives, multipliées par des facteurs «onununs en même nombre <|ue ers équations, comme nous l'avons rappelé en détail