CHAPITRE MX

260. Nous nous occuperons parliculièromcnl du cas où le» seconds membres des équations ( i ) sont nuls. Cela aura lieu d'abord si les forces X, Y, Z,... sont toutes nulles, c'est-à-dire >i le svstèmc qui a été mis en mouvement est abandonné à lui-même, sans aucune action »Hrangère.

Cela aura lieu encore si les points sont soumis à des actions qui seraient en équilibre sur le système rendu ris.\de ; car ces seconds membres sonl les sommes des momenls des forces par rapport aux axes; et ces sommes sont nulles si les forces sont en équilibre. Cela comprend le cas d'actions mutuelles égales et de sens contraires, et. ])ar conséquent, de chocs quelconques entre les diverses partics du s\stème.

Enfin, ces seconds membres sont encore nuls si toutes les forces appliquées aux divers points du système passent par un même point, choisi pour origine de coordonnées. En effet, les composantes X, Y, Z d'une quelconque d'entre elles étant proportionnelles aux coordonnées du point d'ap- |)licalion, on aura

On voit même (pi'il suffirait que les forces eussent une résultante passant par l'origine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuls toutes les fois que hs forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, <■' lié au point fixe qui a été pris pour origine.

Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.

Les équations (i) deviennent, dans cette supposition.

Df MOL'VEMRXT PRODllT PAR LES FORCES.

inU'granl par raj^port à f, et représentant par c, c, c" trois constanlt s, on ohliendra

(Il

dt

dz

dv

\^ I (ly a.r\ ,

^mi \ dt • dt I

Les premiers men)l)res de ces équations sont les sommes

des moments, par rapport aux axes, des forces dont les

composantes seraient exprimées pour chaque point par

dx dy ''^^ 1 X 1- 1 ,>

m —r-} m -r-5 m —r ■> c cst-a-dn-e des lorccs instantanées, dt dt dt

qui produiraient sur chaque point libre, et partant du

repos, le mouvement dont il est animé.

Ainsi les équations (3) expriment que les \o/»/«<'.f dm nionir7}/s des quantités de mouvenicnt qui animent le systi'ine à un moment quelconque, estimées par rapport à trois axes rectangulaires, sont const(tntes; et que, par conséquent^ il en est de même par rapport à toute direction. Ou, en d'autres termes, si, à un instant quelconque, on considère les forces instantanées qui protluiraient sur chacpie point libre, et jiartant du repos, \c mou\enuMit dont il est animé; que Ton tléconq>ose chacune de ces forces en trois autres, dirigées suivant les axes des coordonnées, et en trois couples, a\ant ces nu'mes directions j pour axes : la somme des moments des couples dans chacune de ces directions sera constante; et, par suite, laxe dul couple résultant sera constant en {grandeur et en direction.

C'est en cela (pu^ consiste !<• principe de la conseri'oUo/Ji i des mome/its. Il sidisiste, (|uelies <jue soient les action: mutuelles (pii viendraienf à n.iilri; entre des point«< du s\sj Irnie, connue p.ir e\enq)l<' si deux pi>iiil> ('l.in ni lus subij

f.MAPITRE XI\. 3()5

Icmeiil liui à l'aulre; si une partie du système, d'abord i;azeuso, devenait liquide, puis solide, pourvu ([uc cela s'opérât par des actions deux à deux, égales et contraires ; ou encore, si le changement de température de diflérents points d'un svstème changeait leurs actions mutuelles, et, par suite, leurs distances. Ces diverses circonstances se présentent dans Icsvstèmedu monde.

Il est inutile de rappeler que les sommes des moments seraient les mêmes pour tout système de forces instantanées, j)ro(luis((/il sur le svstènie proposé le moui'e/ne/it existant, puis'jue, d'après le principe de cV Alembert^ ces forces. seraient en équilibre avec l'autre pris en sens contraire, sur le système tel qu'il est, et aussi après qu'on Idura rendu rigide.

267. 11 résulte de ce qui précède que si, à un instant quelconque, on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du snstènie, et qu'on les compose comme si elles étaient apjilicpiées à un svstème rigide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant, par rapport à une même origine.

Si Ion apjilique à ces forces les propositions qui ont été établies dans la théorie de l'équilibre relativement à la réduction d'un système quelconque de forces, on obtiendra les conséquences suivantes :

Lorsqu'un svstème libre quelconque est sollicité par des forces qui se détruiraient mutuellement s il dcvcnail rigide, la somme des forces représentées par les (pianlités de mouvement de ses différents points, estimés dans une même direction, est constante ;

Le centre de gravité du système se meut parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en un même point;

36G Dl" MOI VEMP.NT PnODlIT PAR LKS FORCES.

La somme des moments de ces quanlités de mouvemcri par rapport à une même droite est constante.

Si Ton considère ces moments par rapport à toutes les droites qui passent par un même point de l'espace, celle pour laquelle la somme est la plus grande est invariable : c'est l'axe du couple résultant des quantités de mouvement relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que la valeur du moment total correspondant, sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante menée par ce même point. La direction peut être la même, sans que le mouvement soit le même; c'est lorsque les forces représentées par les quantités de mouvement sont -réductibles à une force unique. Dans ce cas, tous les points du plan mené par celte force et le point que l'on considère, donneront une même direction pour l'axe du moment maximum; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d'une même |iarallèle à la résultante.

Il existe un axe central unique, parallèle à la résultante, et tel que pour tous ses points sa direction est celle de Taxe du moment maximum; et ce moment est moindre ({ue le maximum relatif à tout autre point de l'espace. Il se détermine facilement dès qu'on connaît la résultante et le couple résultant relatif à une origine donnée. Dans le cas où le système des forces représentées par les quantités de mouvement est réductible à un<' force unique, la droite suivant laquelle elle agit est l'axe (M'nlr;il.

2G8. Conservation des nnunents fiifus le nwtnenient ri'ltitif. — Supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte la position îles points se meuvent «mi restant parallèles à «Mix-rnêmrs, le uiouNcmeuI n-latif sera identique au niouvrmcnl absolu (pToii «)l>luMidrail en parlant d un état initial idculique à l'élal relatif initial, et introduisant les

ciivriTRE \IK. 367

forces fictives, dclerminées précétlemincnl. Dans le cas actuel, où les axes n'ont qu'un mouvement de translation, les forces fictives se réduiront, pour chaque point du système, à une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à celle qui donnerait à un point matériel libre le mouvement qui suit l'origine des axes mobiles.

Lorsque ces forces réunies aux forces données seront en équilibre sur le système rigide, ou donneront une résultante passant constamment par l'origine mobile, le principe de la conservation des moments aura lieu dans le mouvement relatif.

Supposons toujours que les forces données soient en équilibre sur le svstème rigide. Il sera nécessaire alors que les forces fictives soient en équilibre sur ce même système, ou bien qu'elles donnent une résultante qui passe constamment par l'origine mobile.

Or, ces forces se composent en une seule, appliquée au centre de gravité du système, parallèle et de sens contraire à la force accélératrice qui produirait le mouvement de l'origine, et égale au produit de cette force par la masse du svstème. Il est donc nécessaire et suffisant que celte dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, l'origine a un mouvement rectiligne uniforme, entièrement arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante :

Lorsque les forces appliquées à un système libre s'y détruisent lorsqu il devient rigide, le principe de la conservation des moments a lieu dans le mouvement relatif à tout système f l'axes qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes^ de manière que leur point de rencontre ait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme.

Le centre de gravité du système ayant, d'après l'hypothèse, un mouvement rectiligne uniforme, il s'ensuit que le principe a lieu [)0ur un système d'axes de directions con-

368 DU .MOUVEMENT PnODUIT PAR LES FORCES.

slanles et dont rorigine coïncide constamment avec le centre de gravité du svstème.

Le même piùncipe aura encore lieu lorsque la résultante des forces jQctives, au lieu d être nulle, passera constamment par l'origine; ce qui exige que la droite menée par le centre de gravité du svstème, parallèlement à la Ibrce accélératrice de l'origine, passe toujours par cette origine même.

On peut donc énoncer cette seconde proposition :

Le principe de la conservation des moments a lieu, dans le mouvement relatifs lorsque les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes^ et que la force qui produirait le mouvement de l'origine passe constamment par le centre de gravité du système.

Ce principe a donc lieu dans le cas particulier où Torigine a un mouvement arbitraire sur la droite que décrit le centre de gravité.

Cette dernière proposition renferme, comme cas très particulier, une des précédentes, où l'on supposait ipie lorigine était au centre de gravité lui-même.

On peut remai-quer que le principe démontré dans ce numéro renferme celui du numéro précédent. Il suffit, pour l'obtenir, de supposer nulle la Ibrce dirigée vers le centre de gravité.

269. Cas oii le moment a la même valeur que si f origine était immobile. — Les deux propositions j»récédenles se rapportent seulenienl à l'invariabilité des monienls relatifs ; mais on pourrait ajouter encore la condition tpie ces moments fussent les mêmes que si l'origine resl.iil en repos. VoNons s'il est possible d'y satisfaire.

Prenons pour axes fixes des x, >', - une des |)osilions dos axes mobiles; soient a, 6, y les coordonnées de l'origine mobile, à une épo(|ue (pielcompie. La somme des moments,