CHAPITRE XIX. Sji

avec les liaisons du svslcmc. C/cst celui <|ui coïnciderait avec le déplacement qui sopère pendant un tenijis infiniment petit, dans le mouvement réel de ce svslème.

Pour reconnaître quand ce déplacenienl virtuel est permis, soit L = o une des équations de condition données. Les déplacements virtuels satisferont à l'équation

dL ^ clL ^ dL ^ dL ^ ,

-j— <jX -\ r- Ô>' -h -7- fjZ -f- -7-7 0J7 -i- . . . — O,

dx dy ' dz dx

et lors même que L renfermerait la variable t implicitement, on ne la ferait pas varier dans celle équation, puisque les déplacements virtuels se rapportent au même instant. Si maintenant on désigne par dx, d\\, dz,.. , les accroissements infinimenl j)etits que prennent les coordonnées pendant le temps d( dans le mouvement cITectif du svslème, l'équation L = o devant constamment être satisfaite, l'accroissement de son premier membre, après le temps dt, doit être nul, ce qui donne, en supposant, pour plus de généralité, que la variable t y entre explicitement,

d\. , dL ^ dL , dL , dL , ,

— r- dt ~ — ;— dx H — ;— dy -f — j- dz H — j—, dx -.-... — o.

(/( dx dy - dz dx'

Or ces deux équations seraient contradictoires si Ton prenait

Zx =- dx, oy '-=. dy, Zz ^=r dz. . . . ,

et celte équation ne sera permise que si 1 on a -r- = o,

(piel que soit t. D'où l'on conclut qu'on peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit que subissent en même temps les points du système, en continuant leur mouvement, dans le cas seulement où aucune des équations de condition ne renferme le temps dune manière explicite.

Supposons donc qu'il en soit ainsi, et, dans réf|ualion générale

faisons

cix m dx, Zy =r dy, oz — dz, il vient

Or le premier membre est la moitié de la dilTércnlielle de

V/.r- dy- dz-\ , v^

nu'-,

\^ dx- dy- dz-\ , v^

7 '" —TV H TV -■ rz ou de >

V désignant la vitesse du point dont la masse est m: et par conséquent l'équation précédente peut s'écrire ainsi :

( 1 ) ~ d^ nii- rr- 2 ( X dx -r- Y dj ~^Zdz).

Elle montre que l'accroissemc/it de la denu-somme des forces i-n'cs de tous les points dans un intervalle de ten}ps injîn inien t petit , est égala la somme algébrique des quantités de t rai-ail des forces données, développées dans ce niénic intervalle.

27o. Lorsque l'expression % \\dx ~- V dy -- 'Ldz) est

la diflcM-entielIc exacte d'une fonction o do .r. )■, z, x', v'. z\ . . . , considérées comme variables indépendantes, on pourra inh'j;rer les deux im inltres de J'cMpiiil ion piéct'dciile, etitrc deux époques (pielcompies, cl Ton aura

(^) ^Zà"'^' ~ i51""'o ^(■^'..>'. -,'*•',•••) -?(.i\.,.Vo,Co..r;,...).