CHAPITRE XIX

Los Icrinos provenant des composantes de Taclion de m sur /// seront

et, si on les réunit, on a

,,,i.v — x'){dx — da;')-^{y ~r')(dy — dr')-^(:. — z'){dz — (iz')

'Il iti \- . : : '—:■ :

ce qui se réduit à — nim'F df, en ayant égard à l'équation

(^ - ^'T- -- 0" -yy -^- {^- - ^'Y- ^--p'

On aurait trouvé — wi/n' F rZ/dans le cas d'une action ré- |nilsive. Ainsi, tous les termes provenant des actions inuluelles des points seront des différentielles exactes, quand ces actions ne dépendront que de la distance et seront proportionnelles aux masses; et généralement quand elles seront égales et opposées.

Nous avons démontré précédemment qu'il en était de même pour toutes les forces agissant vers des centres ilxes, pioporlionnellement à une fonction de la distance seulement.

Mais le théorème n'aurait plus lieu s'il existait des résistances de milieux ou de irottement : les forces X, ^, Z dépendraient alors, soit des composantes de la vitesse, soit de la pression contre les surfaces ou les lignes qui produisent le Irottement, et

^i\dx -\dy ~7.dz)

ne serait plus une diff'érentiellc exacte.

On observera que la diff'érentielle — m m'Vdf, qui se rapporte aux attractions mutuelles, est négative si c//" est positif, et j)ositive si df est négatif. Donc les attractions mutuelles donnent un accroissement dans la somme des forces vives

38o 1)V MOUVEMENT PRODLIT PAR LES FORCES.

quand les points se rapprochent, et une diinlnulion quand ils s'éloignent. De même, si les actions sont ré|Hilsives, la somme des forces vives croîtra si les points s'éloignent, et décroîtra s ils se rapprochent.

279. La somme des forces vives n'est pas altérée par le choc des |)oints du svstème entre eux, lorsque les corps qui se choquent repassent après la compression par les mêmes états que pendant qu'elle s'opérait, et que la force répulsive qu'ils exercent l'un sur l'autre est la même pour les états semhlables; car alors on a des actions mutuelles qui ne dépendent que des dislances des points entre lesquels elles ont lieu.

Mais il n'en est plus de même, comme nous allons le voir, (juand les corps qui se choquent ne satisfont plus à cette condition, c'esl-à-dire quand ils ne sont \A\is parfaitement élastiques.

280. Perte de forces vi^es produite par le choc. — Supposons que les corps qui se choquent soient entièrement dénués d'élasticité, et désignons par at, 6, c les composantes de la vitesse du point quelconque /«avant le choc, et par A, 13, G leurs valeurs après le choc qui a lieu entre des parties (juelconqucs du svstème.

D'après le principe de d'AIcrnix-rl, (jue nous avons démontré applicable aux forces inslanlanéos, il devra v avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées, et celles tlont des composantes seraient r\priiu(''cs pour <-li;iqMC point par

. (l.v . (Iv . dz

1)1 \—r-, - ml-j-f — //jA-7-, dt dt dl

4»u, d'après les nolalions pi'écédcntes, par

in{a A), Di^b ~ H), in{c C).