CHAPITRE XIX. i

seraient développées par chaque point du svstème, si on le liait aux axes mobiles, et ensuite à des forces perpendiculaires aux vitesses relatives, et dont le travail est, par conséquent, nul.

D'où l'on voit que l'équation des forces vives a lieu (Itffis le mouvement relatif, pourvu que l'on joigne aux forces données les forces d'inertie de chaque point, supposé lié aux axes mobiles, à l'instant que l'on considère; ou, d'après les dénominations employées par M. Goriolis, pourvu que l'on joigne aux forces données des forces égales et opposées aux forces d'entraînement pour chacun des points du système.

Toutes les propositions que nous avons établies sur les forces vives dans le mouvement absolu se trouvent donc applicables au mouvement relatif, au moyen de l'introduction de ces forces d'inertie fictives ; et il est inutile d'en reproduire les énoncés.

A^. B. — Il ne faut pas oublier que dans le mouvement absolu, qui est identique avec le mouvement relatif, les équations de liaison ne sont autre chose que les proposées exprimées au moyen des coordonnées relatives, dans les- (juelles on substitue à ces dernières les coordonnées absolues prises dans le système des axes fixes que l'on a choisis; que l'état initial, dans ce s\stème, est identique à l'état initial relatif aux axes mobiles; enfin, que les forces, tant données que fictives, que l'on considère dans ce mouvement absolu, sont exprimées au moyen des coordonnées qui s'v rapportent, de la même manière que le sont, au moven des coordonnées relatives, les forces réellemenl données et les forces fictives considérées dans chaque position du svstème proposé.

Duu. — Mctli. IV. :'•'<

58'> m MOUVEMENT PRODUIT P\R LES FORCES.

VPPLICATION A LA STABILITÉ DE LÉQUILIBRE DUN SVSTÈME DE POINTS.

284. L'équation des forces vives peut être appliquée à une question intéressante, celle de la stabilité de l'équilibre des systèmes.

Lorsqu'un système de points est en équilibre, et qu'on le déplace infiniment peu, d une manière quelconque, en l'abandonnant ensuite à l'action des mêmes forces, il arrive de deux cboses l'une : ou les déplacements successifs de chaque point, par rapport à sa position d'équilibre, restent toujours très petits; ou ils peuvent acquérir, au bout d'un certain temps, des valeurs finies. On dit, dans le premier cas, que l'équilibre est stalile: et, dans le second, qu'il est instable.

Gela posé, considérons l'équilibre d'un s\stènie de point> assujettis à des liaisons quelconquesindépendantes du temps,

el telles, que ^^(\ dx — Y dy -\- 2. dz) soit la différentielle

exacte d'une fonction ç (a-, >', z, .r', . . . ).

Nous savons que, dans la position d'équilibre, cette fonction sera, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les variables indépendantes. Or nous allons démontrer que, quand elle est maxiniuin. l'équilibre est stable.

Supposons, en elfel, un s>stème de points en équilibre, sous l'action de forces X, \ , Z, X' telles, que l'expression

y[\f/.i :- \dy -i- 'Ldz)

soit la (lilférentielle totale d'une certaine fonction

ç(j-, V, c, x\ ...), en considérant les variables x,y. z,x'

coniine indépendantes. Kn vertu du principe des vitesses virluelles, la dilIV-renlielle de la lonclion ; sera nulle pour