CHAPITRE XIX

Ions les déplacements infiniincnt petits du système, qui salisteront aux liaisons auxquelles il est assujetti. Supposons <|ii'alors cette fonction ç soit un maximum relativement à toutes les valeurs qu'elle prend dans ces divers déplacements. Désignons par a, t, c, a', . . . les valeurs de x, y, z, ./•',. . ., dans la position d"équilii)re ; déplaçons chacun des points de quantités extrêmement petites, eteommuniquons- Nmii- des vitesses très petites; il s'agit de démontrer que le dérangement du système restera toujours très petit, et que, par conséquent, l'équilibre sera stable.

En effet, posons

r ^=a ^ II, Y^^b — k, z = c -+- 1, .r'^a'-hh', ...,

<L désignons par v^^ p'o, ... les vitesses très petites que l'on a communiquées aux différents points; l'équation des forces \ ives deviendra

\ -^^nn- ^'"'0 ^ »(«-+- /', b -\- k, c -t- / , . . . )

' —o{a^ho,b + ko, c -h l», . . .).

/'.Il, A'o5 ^0? ■• • représentant les déplacements primitifs très p«'tits, estimés parallèlement aux axes.

Or, puisque la fonction o( x', jk, -, x', ...) est maximum, lorsque x, j', z-, ... ont des valeurs a, b, c ,...^ les termes du premier degré en h, /.-, /. ... disparaissent dans le développement de o(a -i- h, b — k, c ^ l, ...); et les termes du s<'cond ordre, changés de signe, peuvent se mettre sous la forme d'une somme de carrés de quantités dont chaque terme renferme, au premier degré, l'une des (|uantités //, /. . /,..., et qui sont en nombre égal à celui des variables indépendantes. Si l'on désigne ces diverses quantités par s, v', .ç", ..., et par R l'ensemble des termes de degrés supérieurs au second, on aura

et, de même,

cp(rt H- Ao, b -h Ao, c ^ lo, . . .)

L'équation (i) devient donc

— (55 — 5;^ -,- 5^2 -f- . . . ) — R — Ro; ou, en représentant par c la quantité très petite

-^'"^'l ^ ^0 + 5;- 4- ^y- + . . . — Ro. (2) -^^mv^ — c - (s^- -^ s'- — s"'- ^ . . . ) + R.

Les quantités //, /, /. //. ... ne sont pas toutes indépendantes, et l'on pourrait en éliminer un certain nombre au moyen des équations qui expriment les liaisons du système. Celles qui resteraient entreraient au premier degré dans les divers termes des quantités 5, s', 5",... dont le nombreest le même que celui de ces variables indépendantes. 11 suit de là que, si ces dernières ont des valeurs très petites, il en sera de même de 5, s', s'', ..., et réciproquement. II suffit donc de démontrer que s, s', s", ... resteront constamment très petites pour qu'il en résulte que les déplacements des points du système restent eux-mêmes très petits, et que, par conséquent, l'équilibre est stable.

Or, le premier membre de l'équation (•>) étant essentiellement positif, il en sera constamment ilc môme du second; et il est facile d en conclure (|ue chacune des (piantités s^, 5'^, . . , restera toujours inférieure à c. En eflel, d'après la valeur de r, chacune des quantités j*, s'^, ... est d'abord moindre que c ; elles varient ensuite d'un»manière continue. Supposons qu'il puisse arriver alors que