DES MOMENTS D INERTIE

300. Le inouveuient d'un corps autour d'un axe «.'xige, comme nous lavons vu, le calcul d'une somme prise dans toute l'étendue de ce corps, et que l'on peut considérer comme une intégrale, en admettant la continuité dans la matière, comme nous l'avons déjà fait dans la théorie decentres de gra^^té.

Ces intégrales, ([ue nous avons nommées moments d' inertie, offrent quelques propriétés importantes qu'il est nécessaire de faire connaître avant daller plus loin dans l'éludr du mouvement d'un corps solide. Comme elles ne présentent aucune diflîculté, et ne donnent lieu à aucune considération un peu délicate, nous nous contenterons d'énoncer les résultats intéressants, sans en rapporter les démonstrations, qui se trouvent dans tous les Traités spéciaux.

301. Les moments d'inertie d'un corps par rapport à liifférents axes parallèles ont entre eux une relation simple <[ui permet de les déterminer les uns par les autres. Si l'on considère une droite passant par le centre de gravité du corps, et que l'on cherche le moment d'inertie par rapport à cet axe, celui qui se rapporterait à tout autre axe parallèhsurpasse le premier d'une quantité qui ne dépend que de sa distance au premier, c'est-à-dire au centre de gravité. Celt<' quantité est le produit de la masse par le carré de celte distance. D'où il résulte que :

La différence des moments d inertie, par rapport <i deux axes parallèles, est égale à la différence des carres

lI2 DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

de leurs distances au centre de gravité, multipliée par la masse du corps.

On peut donc bien facilement passer d'un axe à tout autre axe parallèle.

On voit encore que les moments d^ inertie sont les mêmes pour toutes les génératrices d'un cylindre à base circulaire dont l'axe passe par le centre de gravité; et que, de toutes les droites parallèles à une même direction, celle qui donne le moment minimum est celle qui passe par le centre de gravité.

302. Considérons maintenant la loi qui lie les moments d inertie d'un corps par rapport à tous les axes qui passent par un même point.

Si l'on suppose trois axes rectangulaires ayant ce point pour origine, et une droite menée par cette origine et faisant avec les axes les angles quelconques a, 6, y, on trouve, par un calcul très simple, que le moment ;x par rapport à cette droite a une expression de la forme suivante :

l y- :=: A COS-a -f- B COs'ê -+- C COS-v

/ — 2D ces? ces Y — 2 E cosx cosy — 9, F cosa cos6,

A, B, c, D, E, F étant des constantes déterminées par la nature du système donné, et sa position par rapport aux axes de coordonnées.

Il est même facile de reconnaître ce que représentent les trois coefficients A, B, C.

En effet, si l'on suppose cos6 = o, cosy = o, on trouv«- |x = A ; la constante A n'est donc autre chose qtir le inoinenl d'inertie du svstème par rapport à l'axe des .r ; et de même B et C sont les niomeuls jiar rajiport aux axes respectifs des y et des z.

Quant aux trois autres coefficients, ils représentent les intégrales suivantes, étrndiirs à la masse entière du svs-