CHAPITRE \XIII. 41 J

tème

D = ^j:- 'li)t , E -^y .vz dm , F = ^ j;k

(lin .

303. La loi exprimée par la formule (i) peut être représentée d'une manière remarquable par une fii;ure géométrique.

Si, en effet, on porte sur chaque axe, à partir de l'origine, une longueur égale à lunité divisée par la racine carrée du moment d'inertie qui lui correspond, l'extrémité de ce ra)on, nécessairement fini, puisque ;j, ne peut être nul, appartiendra à une surlace fermée, dont on aura l'équation en remplaçant dans l'équation (i) les quantités rosa, cos6,cosY par x \\j., y\/\j., - \ y., et l'on trouvera poui l'équation du lieu des extrémités des ravons

( 2 ) A cr- -r- B )•- — C :;- — "i Dyz — 2 E .rc — •> F .r )- :=: i .

Cette surface du second degré, à centre, qui n'a aucun |)oint à l'infini, est nécessairement un ellipsoïde, qui a sou centre à l'origine des coordonnées. On lui donne le nom d'ellipsoïde central.

Celte représentation géométrique est très commode, parce (pie l'ellipsoïde étant étudié avec beaucoup de soin dans les éléments, ses propriétés peuvent en faire connaître immédiatement pour les moments d'inertie, et nous allons en indiquer quelques-unes qui ont une grande importance.

304. Axes principaux d'inertie. — La forme et la position de rellipsoïde central ne dépendent en rien de la direction des axes, mais seulement du point choisi et du système donné. Or, si l'on choisit précisément le système des axes |)rincipaux de l'ellipsoïde, les coefficients de l'équation (2) j)rendront des valeurs dépendantes de ces axes particuliers, et telles que les rectangles des variables ne s'v trouveront

Ui DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

j)lus; et par conséquent on aura

D = G, E = o, F = G, ou

N^j-; dm = o, ^J^- dm r= o, ^.-'''y ^'^^ = " '■>

il existe donc toujours un système d'axes de coordonnées tel, que les trois intégrales ^j'c <//??, > a': dm, 7 xvdm,

calculées par rapport à lui, se réduisent à zéro.

Réciproquement, si elles sont nulles toutes les trois, l'ellipsoïde sera rapporté à ses axes principaux.

Si rellipsoïde central a ses trois axes inégaux, il n'y a qu'un seul système d'axes principaux. Si deux de ses axes sont égaux, il y aura une infinité de systèmes daxes principaux, dont l'axe de révolution fera toujours partie. Enfin, si ses trois axes sont égaux, l'ellipsoïde se réduit à unr sphère; et tout système d'axes rectangulaires passant par le jioint donné sera un système d'axes principaux de l'ellipsoïde.

Remarque. — Si doux des trois sommes seulement

étaient nulles, par exemple ^ vzdm (i ^ ./z d/n . l'étpialion (2) deviendrait

A.r2 -i H , - <' ^-- — î ra-r — 1 ,

et 1 axe des z serait .seul iiii des axes principaux «le l ellipsoïde.

305. Les axes |)nneipaux de cet ellipsoïde sont appelés axes prinripnn.v «l'inertie du svsièrue de points nialiM-iels. lU Mtiil diliiiis par l.i |)ropin''l<'' d antuder l<"s trois intégrales ^ yzdm, ^.izdm. ^.rvdm: mais ils jouissent