CHAPITRE XXIV

Les dlslanccs du centre de jrravité à l'axe et à la liffiie des cenlrcs d'oscillation, donnant pour produit /.-, il sensuil que si ron prenait cette dernière pour axe fixe, la première deviendrait la ligne des centres d'oscillation . La longueur du pendule serait donc la même qu'auparavant, et son mouvement serait identique.

Il en serait encore de même si l'on prenait pour axe de suspension toute autre droite parallèle située à la même dislance du centre de gravité, puisque / et k- ne changeraient pas.

En général, le mouvement sera le même autour de tous les axes qui donneront la même longueur au pendule. Si l'on désigne par / la distance d'un axe quelconque au centre de gravité, par a, 6, y les angles que sa direction fait avec les axes principaux relatifs à ce point, et par A, B, C les moments d'inertie par rapport à ces axes, on aura

M/"- =1 A ces- a -^ B cos-Ç — C ces- y, cl la longueur / -h -^ du pendule sera

A cos-a -i- B cos-6 -4- C cos^y

^ Wi

Or, celte longueur peut rester la même pour une infinité de droites différentes, puisque a, 6, y, / sont indéterminés.

307. Si 1 on cherche les valeurs que doivent avoir ces indéterminées, pour que l'expression précédente soit minimum, on saura autour de quel axe il faut que le mouvement ait lieu pour que l'oscillation se fasse dans le moindre temps possible.

Or, parmi tous les axes pour lesquels k^ serait constant,

celui qui donne le maximum pour la longueur /-h -j-j correspond à /= k; et la longueur du pendule est alors égaie

DuH. — Mt'th. IV. 27

4l8 DU 5I0LVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

à ik. Elle sera donc la plus petite possible lorsque k aura sa plus petite valeur. Ainsi, l'oscillation sera la plus courte lorsque l'axe de suspension sera parallèle à Taxe du plus petit moment d'inertie, relatif au centre de gravité, et que sa distance à ce dernier sera égale à la racine carrée du rapport de ce moment à la masse du corps.

308. Centre depercuasion. — Lorsque nous nous sommes occupé de l'effet produit par une force instantanée sur un corps solide lié à un axe fixe, nous n'avions pour objet que de déterminer la vitesse angulaire quelle communiquerait immédiatement au système. Nous allons maintenant envisager son effet sous un autre point de vue ; nous allons chercher quels sont les chocs produits par l'axe fixe, et particulièrement quelles sont les conditions pour qu'il n'en reçoive aucun.

Pour cela, il faut considérer toutes les forces qui doivent être en équilibre, d'après le principe de d'Alembert, et les diviser en deux groupes; le premier, composé de forces appliquées immédiatement à l'axe; le second, de forces détruites par la liaison même des points du corps entre eux, et qui ne peuvent par conséquent affecter l'axe en autune manière.

A cet eflet, on prendra l'axe fixe pour axe des .:, et, pour plan des x et >', celui (|ui serait mené par le point dapplicalion de la force, perpendiculairement à cet axe.

L'équilibre devra avoir lieu entre la force instantanée, dont nous désignerons les composantes par x, >', z, et des forces égales et opposées aux quantités de mouvement comn^uniquées instantanément à chaque particule ilni, dont les

composantes sonl —j-dm, -^ (/m, -^dm; mais la dernière

est nulle, puisque le z de chaque point est invariable.

Kii (ItTonijinsunt, sui\:int l'ordinaire, toutes les forces