X-i-wMji = o, Y — <o M j-, mo, Z=:o

— a Z — co ^.^ -^ ^^"^ = o,

«Y — 6X — (0 ^ / - dm =; o.

Elles sont suffisantes; car, si elles ont lieu et qu'on donne limpulsion en retenant l'axe, la vitesse initiale sera <o. et l'axe n'éprouvera aucune percussion ; il était donc inutile de le tenir.

Si l'on en élimine w, on aura entre les données les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'axe ne reçoive aucun choc pour acquérir instantanément sa vitesse angulaire. Mais il est bon de simplifier ces calculs, en faisant passer le plan des :c et ;; par le centre de gravité du corps, parce qu'on a alors y ^ = o, et les équations deviennent

X=:o, Zr=o. Y = (i)Ma', ,

^ jczdni =z o, ^^j zd/n = o, aY ^=- co / r-dni.

Les deux premières expriment que la force est perpendiculaire au plan ZX; la (pialrièine et la cinquième expriment que l'axe fixe est un axe principal d'inerlie relativement à l'origine.

Les deux autres donnent uni- nouvelle condition, par

l'élimination de w, et, de plus, la valeur même de (o. Celle

Condition csl

«Mj-, -^ > r-clm, (I ou a -rz —^,

On voit |)ar l.i (pie la distance a de la lorce ù l axe est précisément la longueur du pendule composé que lornie-

rilAPITRH WIV. 4'-'

rait le corps, si on le soumettait à l'action seule de la j^esanteur, après avoir donné à l'axe auquel il est lié une position horizontale.

Quant à la vitesse angulaire (.>, elle aura pour valeur

^r-dni

comme nous l'avions trouvée précédemment, Y et a étant iti ce qui était désigné par P et/?.

310. En résumant ce que nous venons de démontrer, on aura les conditions suivantes, nécessaires et suffisantes pour que l'axe ne reçoive aucun choc :

i" Que la force instantanée soit perpendiculaire au plan passant par l'axe et le centre de gravité du corps;

2° Que cet axe soit un des axes principaux du corps pairapport au point où il est rencontré par le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force;

3" Que la distance de la force à l'axe soit la même que celle du centre d'oscillation du corps autour de ce même axe.

Cette dernière condition montre que la question proposée est impossible quand le centre de gravité est sur l'axe; car, alors, la distance de la force à l'axe aurait une expression infinie.

Le point où la force doit être appliquée dans le [)laii passant par l'axe et le centre de gravité se nomme centre de percussion; il est situé sur la ligne qui contient les centres d'oscillation, et par conséquent est l'un de ces centres; en ne réservant pas cette dénomination, exclusivement à celui qui est sur la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur Taxe.

Béciproqiiement. — Si le corps était en mouvement autour de l'axe, on pourrait l'arrêter brusquement, au moyen d'une force appliquée au centre de percussion, sans

qu'il en résultât aucun effet sur Taxe, en supposant que les circonstances que nous avons indiquées aient lieu.

311. Cas où Vaxe a un point fixe. — Nous venons de faire connaître les conditions pour qu'une force instantanée produise une rotation autour d'un axe purement idéal, incapable de résistance. Nous allons maintenant examiner le cas où il existerait un point fixe dans le corps. La force instantanée produira un mouvement initial qui ne peut être qu'une rotation autour d'un axe passant par le point fixe, et que nous ne nous proposons pas ici de déterminer généralement ; nous voulons seulement chercher les conditions pour que cet axe soit, comme dans le cas précédent, perpendiculaire au plan contenant la force et le point fixe. La question ainsi posée se résout immédiatement au moyen des calculs qui précèdent.

En effet, prenons ce plan pour celui des j:, \\ le point fixe pour origine, la perpendiculaire à ce plan pour axe des z^i et l'axe des x perpendiculaire à la force, qui se réduira à Y. On aura alors

Les expressions (i) deviendront

Mw^'i, Y — Mtoo"!, et les expressions (2)

— co N xz dm , (o 2, y^ '^'" ' ^ ^ — "^ ^ '' '^"' '

et, comme les forces appliquées à l'origine fixe sont détruites par sa résistance, il est nécessaire et suffisant que les moments des trois couples soient nuls, ce (|ui donne

Les deux premières équations exprirucnl <|u«' 1 axe des z