CHAPITRE X\V. :\ig

genl à rellipsoïde en ce point, aura pour équation

La: -— M >■ -i- N\; z= o,

ce qui est précisément l'équation du ])lan du couple donnée dont l'axe fait avec les axes de coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels à L, M, IS. De là résulte cette remarquable proj)Osition due à Poinsol :

L'axe de la rotation produite par un couple sur un corps solide qui a un point fixe est le diamètre conjugué du plan du couple, dans l'ellipsoïde central relatif au point fixe.

On voit comment la considération des axes principaux d'inertie a ramené immédiatement à des mouvements autour daxcs fixes le mouvement beaucoup moins simple autour dun point fixe.

Dl- MOUVEME.XT CONTINf AVTOIR U l.X POINT FIXE.

31o. L'état initial étant connu, il s'agit de déterminer le mouvement que prendront tous les points du corps, par raction des forces continues qui y sont appliquées. Mais il ne sera pas nécessaire de calculer en fonction du temps les coordonnées de chacun de ces points; il suffirait, par exemple, d'en choisir particulièrement trois non en ligne droite, et de prendre leurs coordonnées pour inconnues : celles de tous les autres points s'ensuivraient nécessairement. On pourrait de bien d'autres manières réduire la recherche à un nombre fini d'inconnues : parmi tous les systèmes que l'on peut choisir, le plus commode est celui qui consiste à prendre trois droites rectangulaires liées invariablement au corps, et passant par le point fixe. Si l'on peut déterminer à chaque instant leurs positions par rapport à trois axes fixes ayant pour origine le point fixe,

43o Dl MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

ils détermineront la position du corps à chaque instant, et, par suile. celle de tous ses points, qui y seront rapportés naturellement comme à un système d'axes coordonnés.

Chacun de ces axes mobiles avec le corps, et que nous désignerons par X,, \,, Z,, sera déterminé par les angles que sa direction fera avec celles des axes fixes; il y aura ainsi neuf quantités inconnues, mais entre lesquelles il existera, comme on sait, six équations de condition, ce qui réduit le nombre des inconnues à trois. On peut encore, au lieu de ce système d'angles et d'équations de condition, considérer trois angles, ç, à, 0. indépendants les uns des autres, qui seront les inconnues définitives dont on cherchera à exprimer les valeurs en fonction du temps. L'un d'eux sera l'angle que fait l'axe Z, avec l'axe Z; le second, l'angle que fait avec X la trace du plan X,Y, surXY; le troisième, l'angle de Taxe X, avec cette même trace. On a donné, dans les éléments de Géométrie et de Calcul, les équations qui permettent de passer d'un svstème à l'autre ; nous ne nous occuperons point ici de ces détails.

Les inconnues étant ainsi choisies, il s'agit de trouver les équations par lesquelles on pourra les déterminer. La méthode sera toujours la même, on exprimera qu'il y a équilibre au moyen des liaisons, entre les forces données et les forces d'inertie de tous les points matériels; ce qui fournira, comme on l'a vu dans la théorie de l'équilibre, trois équations exprimant l'équilibre des couples provenant de la décomposition de chaque force en une force appliquée au point fixe et un couple. On aura ainsi autant d'équations que d'inconnues, et te problème de mouvement sera ramené à un problème de calcul.

316. Il V a maintenant une observation importante à faire sur le choix des axes suivant lesquels on fera la dé-