CHAPITRE X\V. 43 I

composition des forces. Quels qu'ils soient, l'équilibre est assuré en égalant à zéro chacun des couples composants avant leurs axes suivant ces trois droites. On pourra prendre certaines droites à une époque du mouvement et d'autres à une autre époque; les équations ainsi obtenues exprimeront toujours l'équilibre qui doit avoir lieu, et par conséquent suffiront, avec plus ou moins d'avantage, à la détermination du mouvement.

Or les trois directions qu'il est le plus avantageux de prendre sont celles des axes fixés au corps, et pour lesquelles on choisit les axes principaux d'inertie relativement au point fixe. Seulement, il y aura quelques attentions à avoir pour l'expression des composantes de la force d'inertie, qui est fort différente de ce qu'elle serait relativement à des axes fixes. Ainsi ces composantes, estimées par rap-

port aux axes fixes X, \, Z, seront, au signe près, —j-j dm,

—r-rd/n, —T-T dm. ou les dérivées des composantes de la vidt- dt- ^ ^

tesse, suivant ces mêmes axes.

On voit bien qu'il n'en peut être de même pour les coordonnées OTi, j',, r,, qui sont constantes pour une même molécule; mais on pourrait croire, au premier abord, que les dérivées des composantes m, c, w de la vitesse du point

parallèlement aux axes X,, Y, , Z,, ou -r-dm, -j dm, -j-dm,

sont bien les composantes de la force motrice qui agit sur dm', ce qui serait une très grave erreur, comme on va le voir.

Eu effet. M, V, w sont des fonctions du temps qui expriment à chaque instant les composantes de la vitesse réelle du point, estimées suivant les directions qu'ont les axes X, , Y,, Z, au moment où l'on fait cette décomposition, et u -!- du, V -+- dv, w -^ dw sont les composantes de la vi-

43» DC MOUVEMENT PBODllT PAR LES FORCES,

lesse après le temps dt^ estimée suivant les nouvelles directions des mêmes axes après ce temps dt\ de sorte que du^ dv, dw ne sont pas les accroissements des composante^ de la vitesse réelle du point, estimées suivant les Iroimêmes axes; ce qu'il faudrait cependant pour que, en les divisant par dt, on eût les composantes de la force accélératrice.

Celle remarque bien simple étant faite, on voit comment on peut obtenir ces accroissements des composantes de la vitesse suivant les axes X,, Y<, Z, restant dans la position qu'ils occupent au commencement de l'intervalle dt. Il suffiia, en effet, de chercher les composantes, suivant ces mêmes axes, de la vitesse à la fin de cet intersalle, et d'en retrancher respectivement u, t", tv; on aura alors les composantes de la force accélératrice suivant les axesX,. Y,, Z, dans leur première position, en divisant les restes par dl. Quant aux composantes suivant X,, ^,, Z| de la vitesse après le temps dt, elles s'obtiendront en projetant successivement sur ces trois axes les trois composantes Il -+- du, V -h di^", iv -+- div de la vitesse après le temps df, suivant les dernières directions des axes mobiles.

Connaissant ainsi les composantes des forces d'inertie parallèlement aux axes principaux du corps, et décomposant, suivant les mêmes directions, les forces extérieures données, on formera facilement les trois équations de l'équilibre de l'ensemble de ces forces, qui seront les équations du mouvement du corps.

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce calcul, et nous nous bornerons à en donner le résultat. En représentant d'abord par ii', r', iv' les composantes de la force accélératrice parallèlement aux directions des axes mobiles, el par Xi, Y,, /, les composantes parallèles aux axes mobiles de la force motrice appli(|uée à un point quelconque, le prmcipe de d'Alembert fournira les trois équations suisantes ;