CHAPITRE Kl. 4l

naîlra cffecllvement que les équations que nous cherchons peuvent s'énoncer et s'écrire d'une manière unique pour tous les cas, en considérant les signes des coordonnées (•omme nous l'avons fait jusqu'ici, et, de plus, en regardant les forces dirigées dans l'un des sens comme représentées par des nombres absolus, et par des nombres négatifs celles qui sont dirigées dans le sens opposé.

43. En considérant d'abord deux forces parallèles, de même sens, et un plan quelconque par rapport auquel leurs points d'application soient d'un même côté, les relations ([ui existent entre les grandeurs des forces et de leur résultante et les distances des points d'application de ces trois forces, conduisent à cette proposition :

<( Si l'on fait les produits de chacune des deux forces et •> de leur résultante par les distances respectives, obliques i> ou rectangulaires, de leurs points d'application au plan, » la somme des deux premiers sera égale au troisième. » Mais si les points d'application des forces n'étaient pas •> d'un même côté du plan, ce serait la différence des pro- ► duits qu'il faudrait substituer à la somme, et le point » d'application de la résultante serait du même côté que » celui qui correspond au plus grand produit. »

On voit par là quelles sont les diverses circonstances qu'il est nécessaire d'examiner, et l'on reconnaîtra facilement que les différentes équations qui leur correspondent peuvent être renfermées dans une seule, en regardant comme positives les perpendiculaires situées d'un côté du plan, et comme négatives celles qui sont situées de l'autre. En désignant sous le nom de moment^ par rapport au plan, le produit dune force par la perpendiculaire, positive ou négative, abaissée de son point d'application sur le plan, et regardant les forces comme des grandeurs absolues, l'équation qui renferme tous les cas s'énoncera ainsi :

4a HE LKQIILIBRE DES FORCES.

Le moment de la résultante par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments des composantes.

Si les deux forces n'étaient pas de même sens, celte équation se trouverait modifiée dans les signes des termes. Mais on reconnaît facilement qu'on se procurera l'avantage de réunir ces diverses formes en une seule, en considérant comme positives les forces dirigées dans Tun des deux sens choisi à volonté, et comme négatives, celles qui sont dirigées en sens r<intraire.

44. Cas d'un nombre quelconque de forces. — En appliquant ce théorème à deux des forces, puis àleurrésidlante et une troisième force, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, on arrive sans difficulté au théorème suivant : u Lorsque des forces parallèles quelconques ont une résultante, le moment de cette force par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments des composantes, à la condition de regarder les forces dirigées dans un sens comme positives, et celles qui sont dirigées en sens contraire comme négatives: les perpendiculaires situées d'un côté du plan comme positives, et celles situées de l'autre comme négatives; et en entendant que les sommes et les produits seront faits suivant les règles démontrées dans l'addition et la multiplication des polynômes. »

On voit ici, comme toujours, que les quantités négatives sont introduites pour renfermer plusieurs formules en une seule, et qu'il n'y a aucune règle à démonln-r sur ces quantités négatives isolées, puisque la manière de les traiter a été une condition de la généralisation, fournie par la comparaison des formes diverses des équations.