CHAPITRE III

EXPRESSION DE LA RÉSULTANTE ET DES COORDONNÉES DE SON POINT d'application.

Soient P, P', P', ... les nombres positifs ou négatifs qui expriment les forces; .r, j', z les coordonnées du point d'application de la force P; x', y, z' celles du point d'application de P', et ainsi de suite; R, la valeur de la résultante en grandeur et en signe; x^,y^, r, les coordonnées de son point d'application, ou du centre des forces parallèles. On aura, d'après ce qui vient d'être dit, en prenant les moments successivement par rapport à chacun des plans coordonnés,

R =r P 4- P' -^ P" + . . . , Ra, — P.r 4- V'x'-^ P\r%- . . . , Rj,=P> -hPy + PV'-T-..., Ri;, =Fz^V'z' H-P^y +....

On connaîtra donc immédiatement la grandeur et le sens de la résultante, et les coordonnées de son point d'application.

équations d'équilibre des FORCES PARALLÈLES.

4o. Il faut d'abord s'expliquer nettement sur la position de la question, et déclarer si l'on veut des équations qui assurent l'équilibre, quelle que soit la direction des forces, comme nous avons trouvé la détermination du point d'application de la résultante, quand elle existe ; ou bien si l'on veut des équations qui assurent l'équilibre de forces parallèles à une direction bien déterminée.

1° Supposons d'abord que l'équilibre doive avoir lieu, quelle que soit la direction des forces, et commençons, comme nous l'avons déjà fait, par réduire le système de toutes les forces aux deux résultantes des forces respective-

44 DE l'équilibre des forces.

ment de même sens : pour qu'il y ait équilibre, il faut que ces deux forces soient égales et directement opposées.

D'abord, pour qu'elles soient égales et de sens contraire, il faudra que l'on ait

Pour qu'elles soient directement opposées, quelle que soil leur direction, il faut que les deux points d'application des résultantes partielles, égales et de sens contraire, coïncident.

Or, pour que deux points coïncident, il est nécessaire et suffisant que leurs coordonnées soient égales et de mêmes signes, par rapport à trois plans passant par un même point.

Ainsi, en considérant d'abord les x des deux points, il faudra, pour qu'ils soient égaux et de même signe, qu'en les multipliant par les résultantes correspondantes qui sont égales et de signe contraire, la somme soit nulle. El comme cette somme est égale à la somme totale des moments Px -h- P'x'+ P"x"-t-. . ., il faudra que cette dernière soit nulle. Il en serait de même pour les deux autres axes ; et les conditions de l'équilibre seront

i Px4-P'a-'+P'x"-h... =o,

( 2 ) ! P7 -^ py -+- p V + . . . = o,

( Vz + P'-'h-P"c"+... =0.

Si tous les points d'application sont dans un même plan, la troisième des équations (2) rentre dans les deux autres.

S'ils sont en ligne droite, les équations (a) se réduisent à une, la direction des forces restant indéterminée.

46. Si 1 équilibre doit avoir lieu pour une seule direction bien déterminée, il ne sera plus nécessaire que les