Pour qu'un système de forces non en équilibre soit

réductible à une force unique, il est nécessaire et suffisant

|u en introduisant une certaine force il y ait équilibre. Car,

^i le système proposé peut être remplacé par une force uni-

(|ue, il serait en équilibre si l'on introduisait une force

I j^ale et contraire; et réciproquement si le système proposé rst mis en équilibre par l'introduction dune certaine force S, ce qui entraine qu il y ait équilibre entre le système ( ontraire et — S, il s'ensuit que — S peut remplacer le [)remier système (n''20), et, par conséquent, ce dernier a une résultante — S. Or nous avons yu que tout système de lorces appliquées à un corps rigide, peut être réduit à une lorce et un couple; il est donc nécessaire et suffisant que rette force et celle que l'on introduira détruisent le couple. Or ces deux forces peuvent toujours se réduire à un couple et une force ; et il faut que cette dernière force soit zéro : car, sans cela, il faudrait qu'elle fût en équilibre avec le couple résultant des deux autres, ce qui est impossible. Lesdeux forces doivent donc former simplement un couple; et ce couple doit détruire le couple résultant. Il doit donc être dans un plan parallèle à celui de ce dernier; et, par conséquent, la résultante des forces transportées en un même point doit être parallèle au plan du couple résultant, et ne pas être égale à zéro. Et réciproquement, s'il en est ainsi,

II existera évidemment une force qui formera avec la résultante un couple ayant son plan parallèle à celui du couple résultant, le même moment et le sens contraire, et les détruira par conséquent; d'où il résulte que le système des

6o DE l'Équilibre des forces.

forces sera réductible à une force unique. On obtient ainsi la proposition suivante :

Pour rfue des forces appliquées à un système rigide aient une résultante, il est nécessaire que ces forces, transportées en un même point, donnent une résultante parallèle au plan dit couple résultant.

ÉQIATIO.NS D'ÉgVILIBRE d'iN SVSTÈME QUELCONQUE DE FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE LIBRE.

36. Nous avons montré que, pour que des forces quelconques appliquées à un corps solide fussent en équilibre, il était nécessaire et suffisant que toutes ces forces, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque lié au corps, donnassent une résultante nulle, et que le moment du couple résultant fût aussi nul. Il ne s'agit plus que d exprimer ces conditions par des équations. Nous prendrons, pour plus de généralité, un système d'axes de coordonnées obliques.

Désignons les forces données par

et par

xyz, x'y'z', x"y"z\ ...

les coordonnées de leurs points d'application respectifs M, M'. M

Nous choisirons 1 origine des coordonnées pour le point où les forces seront transportées parallèlement à ellesmêmes, en vue de réduire le système à trois forces suivant les axes, en trois couples suivant les plans coordonnés.

Mais, pour calculer plus lacilement les momenls de ces trois couples, nous commencerons par décomposer chaque force, en son point même d'application, en trois forces pa-