CHAPITRE IV

sitifs, la force P, pour la somme des moments des deux roupies, sera :

Dans le plan YZ,

I rZ — cil ") sin >\; :

Dans le plan ZX.

I ;\ — J*Z) sin^x;

Dans le plan X^ ,

{.v\ — rX)sina'y.

Or on reconnaîtra, par une discussion très simple, que, quelles que soient les directions des coordonnées et des composantes, les expressions précédentes représenteront toujours, en grandeur et en signes, les moments des couples fournis par la force P, à la condition que les coordonnées et les composantes seront regardées comme positives quand elles seront dirigées dans le sens des axes, et comme négatives dans le sens contraire; et que les moments positifs correspondront au sens direct des couples, et les moments négatifs au sens inverse. Et tout cela est démontré à la condition que les opérations sur toutes les quantités négatives seront exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des polvnômes. Il n'v a donc aucune question à faire à cet. égard, cette manière d'opérer étant la condition de la généralité, qu'on peut ne pas vouloir, mais qu'on ne peut obtenir qu'à ce prix.

Maintenant, si l'on fait la somme algébrique de toutes les expressions analogues que fournissent les autres forces, P',

P' on aura, en sfrandeur et en signes, les moments des

couples résultants dans les trois plans coordonnés. Et comme des couples situés dans trois plans qui n'ont qu'un point commun, se composeraient toujours en un seul dont le moment ne serait pas nul, il est nécessaire, pour l'équilibre

64 WE l'équilibre dfs forces.

de l'ensemble des couples, que les trois moments résultants soient séparément nuls.

De plus, pour que la résultante des forces soit nulle, il faut que ses trois composantes suivant les axes, le soient séparément. Les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre des forces données, seront donc exprimées par les six équations suivantes, dans lesquelles nous avons supprimé les facteurs inutiles sin 7,3, s'inzx, sinxj' :

(,) ^X = o, J^Y^o. Sz = o,

Si les axes sont rectangulaires, ces équations deviennent

(3) ^I*cosa:=o, ^l'cosC=:o, ^Pcosy ~~ o> ^P( jK CCS y — ^cosê ) = o,

(4) < 7 F(-cosx — vrcosY) = o,

^r(a:cosG — Kcosa) ^^ O.

Ces trois dernières équations j)eu\rnl être énoncées d'une niatiièrc (pi'il n'est pas inutile de reconnaître. Si, par Ir point (]ii('lcon(jue d'ap|)li('ation de la force P, on m«'ne un plan perpendiculaire à AZ, <pn coupe celte li{;ne en O, et cpTou décompose la force en une force parallèle à cet axe <l uiu' auti'c i}, siliK'c dans le plan |)('rpendiculaire. la pre-