CHAPITRE IV
inière sera Pcosv, cl la seconde Pslnv sera la rt'siillanlr tics forces Pcosa, Pcos5, parallèles à AX, W . Le momeni de cette force Q par rapport à O, que l'on appelle aussi le moment de la forec P par rapport à AZ, sera donc la somme algébrique des moments des deux autres, ou
P(j7Cos6 — vcosa);
ce qui est le couple relatif à la force P, estimé suivant Taxe des z. D'où l'on voit que les trois dernières équations d'équilibre expriment que les sommes des moments de toutes les forces par rapport à trois axes rectangulaires sont séparément égales à zéro.
On peut remarquer que la distance du point O à la force Q n'est autre chose que la distance de O au plan mené par la force P parallèlement à l'axe des z\ c'est donc la plus courte distance de la force P à cet axe. De sorte que le moment dune force par rapport à un axe est le produit de la plus courte distance de ces deux droites par la composante de cette force perpendiculairement à l'a\c.
CAS oc TOUTES LES FORCES SONT DANS UX MÊME l>l,A.\
57. Si, |)Our plus de simplicité, on prend ce plan pour celui des x et »', on aura, pour toutes les forces.
les équations ( i ) et (2) se réduiront donc aux suixanles :
ou, si les axes sont rectangulaires,
(<)) \Pcosa = o, ^PcosÇ = o, y\^{xco?.'j — rcosy. t — o.
(le cas particulier peut être traité directement, en suivant DuH. — Met h. IV. 3
GC) DK LÉyllLlBRE DES FORCES.
la même marche que dans le cas général : c'est même ce ([iiii convient do faire pour les commençants. On arrive ainsi immédiatement aux équations (5) ou (6).
La troisième des équations (G), qui exprime que le couple résultant a un moment nul, peut être mise sous une autre l'orme qu'il n'est pas inutile de connaître. Il suffit, pour cela, de transporter les forces elles-mêmes à l'origine, sans les décomposer à leur point d'application : le couple qui proviendra du transport de l'une quelconque des forces aura pour moment le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; le sens de ce couple sera direct si la force tend à faire tourner le système dans le sens direct autour de l'origine supposée fixe, et inverse dans le cas contraire. En désignant ce produit sous le nom de moment de la force par rapport à l'origine, et en le regardant comme positif, quand le sens est direct, et comme négatif, quand le sens est rétrograde, la condition d'équilihre des couples s'énoncera ainsi :
La somme algébrique des moments des forces jtar rapport à un point quelconque du plan doit être égale à zéro.
CAS ou TOUTES LES FORCES SONT PAR VI.LÈLES.
Dans ce cas, les rapports -rjj p> ^ sont les mêmes pour
toutes les forces. Si nous les désignons par «, 0, c, les (''([iialions (i), (■>, ) deviendront :
Les premières
OU .sunplemenl
CIIAPITRI-: IV. 67
I^es secondes
,-^ h'^Pz..c^Px,
[ b^P^=a^Vy.
Il faut maintenant distinguer deux cas, suivant que Ton voudra que l'équilibre ait lieu, quelle que soit la direction des forces passant toujours par les mêmes points d'applica- 'ion, ou bien que la direction de ces forces soit donnée el in\ariable.
1° Dans le premier cas, deux des rapports a, b, c sont indéterminés, a et b, par exemple. La troisième des équations (-) exige alors qu'on ait ^P.r==o, ^.^J" = o, el
les deux autres donneront alors X^^ ^= o- Les conditions
d'équilibre, dans cette hypothèse, seront donc, comme nous les avons déjà trouvées,
2" Si l'équilibre doit avoir lieu pour une direction déterminée des forces, «, b, c sont des nombres donnés invariables. Les deux premières équations (^) donnent
et la troisième en est une conséquence. Les conditions de
68 DE l'équilibre des forces.
l'équilibre se réduisent donc, dans ce cas, à
si l'on prenait l'axe des z parallèle aux forces, on aurait
rt = G, b =z o, et les équations deviendraient
comme nous les avions trouvées précédemment.
3" Si ces forces parallèles étaient dans un même plan ayant pour équation
on aurait
C =: XO -r- ^jb,
et les équations (8) deviendraient
qui se réduisent à une seule.
Les équations d'équilibre seront alors, comme nous les avons trouvées précédemment,
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