CVLCIL DE LV RÉSULTANTE DE FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE

58. Soient X', Y', Z', X", Y", Z" les composantes des forces données. Posons

\, Y, .Z seront les composantes de la résultante des forces données, transportées à l'origine.

Soient — X), — Y,, — Z,, en grandeur et en signe, les composantes d'une force inconnue qui ferait équilibre aux forces données, et par suite X), \ 1, Z, les composantes de la résultante si elle existe, et soient j:,, ),, ;, les coordonnées de son point d'application; les si\ équations de 1 é([uilibre seront

X — Xi=:0, Y — Y,=:0, Z — Zi=ro;

^{x'Y' - yX') - [.c, Y, - j, X,) =. o.

Représentant par L, M, N les trois sommes qui sont dans ces équations, elles deviennent

(2) .v,Z — .T,Y = L, c,X — a-iZ = M, .r,Y->-,X = N.

Pour qu'il y ait équilibre, il est nécessaire et suffisant que Ton puisse satisfaire à ces six équations par des valeurs données à a;,,^',, ^(, X,, Y , , Z,, et alors il y aura une

jO DK LÉQIII.IBUE DES FORCES.

résultante qui sera la force opposée à celle qui établira l'équilibre.

Les équations (i) donnent

ce qui exprime que les composantes de la résultanle suivant les axes seront les sommes des composantes des forces données.

Les équations (2) expriment que les moments des trois couples fournis par la résultante sont égaux à la somme de ceux que fournissent toutes les forces. Elles feront connaîtn^ x^,V\, -Si5 mais elles ne seront pas toujours compatibles. En effet, si l'on multiplie la première par X, la seconde par y, la troisième par Z, et qu'on les ajoute, on aura

(3) LX + MY + i\Z = o,

équation entre des quantités connues, et qui est une condition nécessaire pour la possibilité de lécjuilibre. Elle serait insignifiante si les trois quantités X, Y, Z étaient nulles: mais alors on ne multiplierait pas les équations (2) par o, cl elles se réduiraient à L = o, M = o, N=o, qui indiqueraient que le couple résultant serait nul; et le système serait en équilibre.

Écartant donc ce cas, l'équation (3) subsiste comme conséquence des équations (2), qui se réduisent à deux seulement.

Les quantités ^,, >,, ;;, ne seront donc pas déterminées, et, comme elles satisfont à deux équations du premier degré, le milieu des points qu'elles construisent sera une ligne droite. Tous les points de cette droite pourront donc être pris pour le point d'application de la force qui fait équilibre, et par suite de la résultante du système, qui lui est «lirectenicnl o|)posée.

Remarfjiic. — Comme on a démontré que la coiulilion

rHVPlTRr IV

nour que les forces aient une résultante, est que la résnllante des forces transportées en un même point soit parallèle au plan du couple résultant, il s'ensuit que l'équa- (ion (3) doit exprimer cette condition géométrique. C'est ce qu'on vérifie immédiatement dans le cas des axes rectangulaires. Car alors X, Y, Z sont proportionnels aux cosinus des angles que la résultante fait avec les axes, et L, M, N le sont aux cosinus des angles que fait l'axe du couple lésultanl. L'équation (3) exprime donc que la résultante est perpendiculaire à l'axe du couple résultant, et par conséquent parallèle à son plan. Dans le cas des axes obliques, il n'est pas facile de reconnaître cette signification de l'é- (|uation (3), et je ne connais aucun Traité de Mécanique oM elle soit démontrée. Il est nécessaire pour cela de connaître l'équation du plan du couple résultant de trois autres, >itués dans trois j)lans donnés que l'on prendra pour plans coordonnés. Cette équation ne se trouvant dans aucun ouvrage, à ma connaissance du moins, je crois utile de la donner et de la démontrer ici.

ÉQUATION DU l'LVN DU COUPLE RKSULTANT DE TROIS COUPLES SITUÉS D.VXS LES PLANS COORDONNÉS.

59. Soient A, B, C (Jig. 5j les moments des couples situés respectivement dans les plans YZ, ZY, XY. Composons d'abord les deux couples dont les plans se coupent •suivant AX; pour cela, plaçons-les de manière qu'une des forces de l'un soit dans l'axe des 5, et une des forces de l'autre dans l'axe des j>', et en changeant la grandeur des lorces sans changer les moments, faisons en sorte que les secondes iorces de ces couples viennent rencontrer Taxe AX en un même point B pris à volonté.

Supposons, pour fixer les idées, que les trois cou|)les soient dans le sens direct, et soient AC, AD les grandeurs

dos forces qu'il faudia appliquer au hras de levier oblique -VB ])Oui' que les niomcnls soient B et A; ces forces seront déterniini'es par les conditions suivantes :

(I) AG.AB sino:^ =^ B,

12) AD. AB sin J7V =^ G,

dans lesquelles AB peut être choisi à volonté.

La diagonale AM du parallélogramme CADM sera la

force qu'il faudra appliquer au bras de levier AB pour avoir le couj)lc résultant des deux premiers. L'inclinaison de celle force sur AB n'esl pas donnée, et par suite le moment du cou|)lo MABM' n'est pas donné; mais nous verrons qu'il est inutile de le calculer.

Il reste à composer ce couple avec le couple situé dans e plan ^Z, et dont le moment est A. Nous transformerons ce dernier, et nous le placerons de manière que ses forces soient égales à AM, et que l'une des doux soit dircclonuMit opposée à AM, ce qui est possible, puisque AM est dans le plan ^ Z, qui est celui du couple; la seconde force M'K do ce couple ME'AM, viendra rencontrer A\ en un point K,

niAPITRH IV. 73

te! que l'on ail

AM.AEsinMAD = A; et comme

.MA:AC::sinYZ:sinMAD, doù

MA sin MAD = AG sln > -, on aura

(3) AE.ACsin/^ — A....

La force AM étant détruite par AM,, il restera seulement les deux forces M'E et BM', qui formeront le couple résultant.

Le plan cherché est donc celui qui j^asserait par EB cl serait parallèle à A^I, ou, encore, tout autre plan parallèle, par exemple celui qui passerait par AM et serait parallèle à EB.

Les équations de AM sont

AD

ou, d'après les équations (i) et (2),

, , , C sin jTw

(4) y—~ —rr-- •-, • • • ;

celles de EB sont

^~^' ÂB "^ AË " ' '

et celles de la parallèle menée par l'origine, et qui sera dans le plan cherché, seront

ou

AB

7Î DK L'ÉQlILinnK DES FORCES.

cl comme les équations (i ) et (3) donnent

h> sin vc les équations précédentes deviennent donc

B sin ^■z

A sin.r^'

^Nfaintenant que les équations des deux droites qui déterminent le plan sont exprimées au moyen des quantités données, rien n'est plus facile que de trouver cette équation. Soit, en effet, l'équation générale d'un plan passant par l'origine, aœ -\- by -'r c: =^ o.

La condition, pour qu'il contienne la droite (4)» sera

c Csin.r«

b B sin .37/

et, pour qu'il contienne la droite (5),

a A sin j"::

b B sin >\r

Reportant les valeurs de a et c, et supprimant le facteur b, on a, pour l'équation du plan du couple résull.int.

sinj.3 sinjr-'^ sinj-y

M'PLirATION DR CETTE ÉQUATION A lA RÉSM-TANTE d'iN SYSTÈME

60. Ce système est réduit à une force dont les composantes suivant les axes sont X, Y, Z, et à un couple résultant des trois autres situés dans les plans coordonnés et dont les moments obliques sont L, M, N, cl dont, par conséquent, les moments rectangulaires sont L sin » r, Msin.rr. Nsin^r)'. Ces dernières expressions sont donc celles que.

CHAPiinE IV. 5-5

dans le calcul précédent, nous avons désignées par A, B, C. fj'équalion du plan du couple résultant sera donc, dans le (.as actuel,

Ljc -+- M )• H- \z = o.

Or les équations de la résultante des forces X, Y, Z, situées dans les axes, sont

< t la condilion pour que celte droite soit parallèle au plan sera