MOMENTS PAR RAPPORT AUX DROITES QUI PASSENT PAR IN MIÏME POINT

63. Le transport de toutes les forces en ce point donne lieu à un couple résultant; et son axe projeté sur une droite quelconque passant par ce point, donnant la mesure du moment du système des forces données par rapport à cette droite, il en résulte immédiatement les conséquences suivantes :

La droite, menée suWaiit l'axe du eouple résultant, donne le moment maximum. Toutes les droites qui font le même angle avec l'axe de ce couple donnent des moments égaux. Toutes les droites situées dans le plan perpendiculaire à cet axe donnent des moments nuls.

Ces propositions sont si évidentes qu'on croirait presque inutile de les énoncer. Mais, avant la théorie des couples, elles constituaient des théorèmes importants, dont la démonstration ne se présentait pas d'elle-même.

CHANGEMENT Ql E SCBIT LE MOMENT MAXIMUM PAR LE DÉPLACEMENT DU POINT.

Si Ton déplace de A en A' le point où les forces avaient été transportées, le couple résultant produit en A' deux forces égales et opposées qui se détruiront, et la résultante se transportera en A', en produisant un nouveau couple dont le plan passera par la résultante en A et le point A', et dont le moment sera le produit de cette résultante par la perpendiculaire abaissée sur elle du point A'. L'axe de

^8 VF. LEQL'ILIBRE DES FORCES.

ce couple sera perpendiculaire à la résultante et à la droite AA'. De là résultent immédiatement les propositions suivantes :

Si le point A se déplace sur la résultante en A, le couple introduit sera nul, et V axe du couple résultant ne changera ni de direction, ni de grandeur.

S'il se déplace le long d'une autre droite quelconque, l'axe du couple introduit étant perpendiculaire à A^V, qui est situé sur cette droite, donneia sur elle une projection

Fis; 6.

nulle, et Taxe du couple résultant, quoique changeant «1<' grandeur et de direction, donnera la même projection sur la droite; et, par conséquent, le moment du système par rapporta une droite quelconque ne sera pas changé par le déplacement de A sur cette droite. C'est ce que nous avions déjà reconnu j)ar d'autres considérations. Supposons mainronant que le point A' prenne des positions quelconques, non sur la résultante en A. Soient AR {Jig- <>) la direclion de cette résultante, AM celle de l'axe du couple résultant, et 0 l'angle de ces deux droites. Le couple qu'il faudra composer avec AM aura son axe perpendiculaire à AU, v\ jiourra jirendre toutes les directions dans le plan jierpen- (lit iihiire à AK; aucune ne sera celle de AM si l'angle 0 n'est pas droil; c'esl-à-dire si le système des forces n'a pas un

CIIAPITRK IV. -,j

I l'sultante unique : ainsi, en exceptant ce cas particulier, lii ilireclion de l'axe du couple résultant sera différente de AM, -i A' n'est pas sur AK. Les directions diverses de Taxe du 1 xuple KR' feront avec AM, les unes un angle aigu, les autres un angle obtus, si AM et AR n'ont pas la même direction. I.î's axes qui feront un angle aigu avec AM donneront un >uple résultant plus grand que AM; ceux qui feront un iiiglc obtus pourront donner un couple résultant plus ,iand ou plus petit que AM, suivant la grandeur du moment du. couple RR', qui peut varier de zéro à 1 infini, en

■ liangeaut la distance de A' à AR. Doù l'on voit que le

■ noment maximum relatif au point A, comparé à ceux qui

•iTcspondent aux divers axes passant par A', sera plus lit que les uns et plus grand que les autres, si les direcons AM, AR sont différentes ; mais si elles se confondent, ^ deux couples à composer auront nécessairement leurs \es perpendiculaires entre eux, et, par conséquent, don- I ronl un couple résultant plus grand que AM. D'où ré- >ultc cette proposition :

Le point pour lequel le moment du couple résullanl est le j}lus petit est celui pour lequel la direction de Vaxe (le ce couple se confond avec celle de la résultante.

Et, d'après ce qui vient d'être établi tout à l'heure, si Ion trouve un point jouissant de cette propriété, tous les |)oints de la parallèle à la résultante menée par ce point en jouiront de même; et tous les axes des couples résultants, ou, en d'autres termes, les axes pour lesquels la somme des moments des forces est maximum, considérés pour tous les points de cette droite, se confondent, puisqu'ils sont parallèles à cette droite même; de sorte qu'il n'existe dans l'espace qu'un seul axe tel, que la somme des moments des forces par rapport à lui soit plus grande que par rapport à toute autre droite menée par un de ses points, et en même temps soit moindre que la somme maximum relative à tout

8o DE L EQUILIBRE DES FORCES.

point situé en dehors de lui. C'est à cet axe que M. Poinsol donne le nom d'axe central des moments.

64. Détermination de l'axe central. — Pour obtenir l'axe central, il faut choisir le point A', de telle sorte que la perpendiculaire au plan RAA', ou l'axe du couple RK', soit dans le plan MAR, et par conséquent dirigée suivant la ligne AN, intersection du plan MAR avec le plan mené par A perpendiculairement à AR, et telle, que AR soit dans l'angle MAN; il faudra donc prendre A' sur la droite menée par A dans ce dernier plan, perpendiculairement à AN, et du côté de AR pour lequel le sens du couple donnera à l'axe la direction AN, et non la direction opposée, puisqu'il faut que AR soit dans l'angle des directions des deux axes composants. Cela posé, il suffira de prendre le point A' à une distance de AR telle, que le moment du couple soit égal au côté MR du parallélogramme MBAN.

Désignons par G le moment du premier couple résultant AM ; par R celui du nouveau couple résultant ; par p la distance de A' à AR; par 0 l'angle MAR : le moment du (H)uple RR' sera R/:». Les cosinus des angles de AR el AM avec les axes étant proportionnels respectivement à X, Y, Z et L, M, N, on aura d'abord

, LX + MY -h

cosô= ^^

NZ

ensuite

^. ^ ^ IA-1-MY4-NZ

K ~ G ces 0 — Tz »

R/> = GsinO.

Le point A' est ainsi délennini'' aulanl qu'il doit rriic, ce sera Tnn (juelconqiie de ceux de la parallèle à Ail menée à

la dislance — ^r — de AR, sur la droite perpendiculaire à .VN,

et du côté- (le \\\ i\\\r nous avons indiqiii". Les coordon-