CHAPITRE IV. 8i

nées a, b, c de ce point se détermineront par les équations suivantes, en prenant le point A pour orifj;ine :

, , ,, , G^sin-O a--Jr b-^ c-= — jj^ — , n."

aX-hbY -hcZ = o, aL -h bM -+- cl^ — o.

Les deux dernières expriment que la droite AA' est perpendiculaire sur la résultante, dont les composantes sont X, Y, Z, et sur l'axe du couple résultant, dont les axes composants sont L, M, N. La première exprime que la longueur AA' est égale à p. Ces trois équations donnent deux points dont les coordonnées sont égales et de signes contraires; mais un seul devra être choisi : c'est celui qui donne au couple Kll' le sens que nous avons indiqué précédemment. Le point A' étant ainsi déterminé, la parallèle à la résultante menée par ce point sera Vaxe central; et, nous le répétons, la direction de cet axe est, pour un quelconque de SCS points, celle de l'axe du moment maximum; et ce moment est moindre que le maximum correspondant à tout autre point.

60. Disposilioii de tous les axes autour de Vaxe central. — Concevons un plan quelconque perpendiculaire à Taxe central; ce que nous dirons de tous les points de ce plan s'appliquerait identiquement à ceux de tout autre ])lan parallèle.

Soient AR {Jig- 7) cet axe, et A' un point quelconque «lu plan perpendiculaire mené par A. En prenant ce nouveau point pour origine, il faudra composer le couple résultant dont l'axe est AM en direction et en grandeur, avec le couple situé dans le plan RAA', ayant pour moment R/?, p désignant la longueur AA'. L'axe du couple résultant sera, en direction et en grandeur, la diagonale AR du rectangle construit sur AM et la ligne AN, égale à Ry^ et pei'- Dun. — Métli. IV. 6 •

Hi. DE l'Équilibre des forces.

pendiculairc au plan R.VA'. Désignons par ç» l'angle de Taxe résultant avec l'axe central, et par K le moment résultant; on aura

tango =

Les valeurs de K et 9 ne dépendant que de /), il s'ensuit (|ue, pour tous les points d'une même circonférence décrite

du centre A dans le plan perpendiculaire à AR, les moments maxima sont égaux, et leurs axes forment un hvperl)oloïde tle révolution autour de l'axe central, dont la circonférence (]ue l'on considère forme le cercle de gorge; et le demi-axe

imaginaire de l'hyperbole génératrice a pour valeur — • Si

l'on prend /) comme abscisse et le moment correspondant K

comme ordonnée, on construira, d'après l'équation ci-dessus,

une hvpcrbole dont Taxe réel sera dirigé suivant AR et aura

p pour valeur '2 G. Son demi-axe imaginaire sera ^ comme

l>our l'autre hyperbole.

\iusi, l'axe central jouit de la propriété, <pio, pour tous les points d'une surlace cvliudricpie «pudconquc dont il est l'axe, le niomenl maximum a la même valeur; l'axe de ce moment a la même direction pour tous les points d'une même arête de ce e\lindre; il change de direction en pas-

niAPiTni; iv. 83

sanl d'une arOle à une autre, en conservant la même inclinaison sur l'axe et la mcMue distance. La valeur du moment maximum augmente indéfiniment avec la distance de l'orie^ine à l'axe central; et l'angle de son axe avec l'axe central a pour limite l'angle droit.

66. Cas où le système des forces a i/ne résultante. — Si Ton prend pour origine un point quelconque de cette résultante, le couple correspondant sera nul, et, par conséquent, cette droite sera l'axe central lui-même. Les formules précédentes donnent, en effet, /) = o, quand on suppose G = o. Si maintenant on prend une origine quelconque en dehors de la résultante unique, on aura un couple résultant dont le plan sera celui qui passera par l'axe central et la nouvelle origine. Ainsi, dans ce cas particulier, tous les points cl' un même plan quelconque passant par la résultante unique donnent des couples résultants dont les axes sont parallèles.

Mais les moments de ces couples ne sont pas égaux; ils sont proportionnels à la distance de l'origine qui leur correspond à la résultante générale. Ils n'ont donc la même valeur que pour les points situés sur deux parallèles à la résultante, équidistantes de cette ligne : et, de plus, le sens de ces couples n'est le même que pour les points d'une même parallèle.

Cas où la résultante est nulle. — Si la résultante est nulle, le changement d'origine nintroduit aucun nouveau couple, et, par conséquent, le couple résultant a toujours le même moment, et son plan la même direction, quelle que soit l'origine où 1 on transporte les forces.