ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME RIGIDE QUI N'EST PAS ENTIÈREMENT LIBRE

67. Cas d'un seul point. — Considérons d'abord le cas ou le système se réduit à un seul point; et supposons-le assujetti à rester sur une surface ou une courbe fixe.

Si un point situé sur une surface qu'il ne peut quitter est sollicité par une force normale à cette surface, il restera en équilibre; car, toutes les directions suivant lesquelles il pourrait se mouvoir étant semblablement placées par rapport à la force, on ne voit aucune raison pour qu'il prenne lune plutôt que lautre, et Ton peut admettre qu'il n'en prendra aucune : cette supposition est confirmée par toutes les expériences. Mais si le point est sollicité par une force oblique, on peut la décomposer en deux autres, dont l'une soit normale et l'autre dans le plan tangent; la première est détruite par la résistance de la surface; mais rien ne s'oppose à ce que la seconde déplace le point, si l'on suppose qu'il puisse se déplacer librement sur la surface dans toutes les directions. C'est ce qui n'aurait pas nécessairement lieu s'il y avait ce que Ton appelle un frottement ; mais nous en faisons abstraction pour le moment, et nous supjiosons tous les déplaccmenls entièrement libres sur la surface.

Une surface, ne ponxaiil donc délruire fpie les forces qui lui sont normales, jjrodiiil lotijoursle même elVel cpi'une force égale à la son'uie de celles qu'elle détruit et agissant dans la direction normale ojinosée. Il en est de même de la résistance ddiic courlx' ■^^l"• l,i(|ii('ll<' un point peut se

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déplacer librement. Elle cktrult les forces dont la direction est comprise dans le plan normal mené au point d'application, et n'en détruit aucune autre. Sa résistance pourrait donc toujours être remplacée par une force normale, égale et contraire à la résultante de celles qu'elle détruit.

Cela posé, soit F (x, y, :■) = o l'équation dune surface sur laquelle doit rester un point sollicité par des forces quelconques P, P', . . . ; il n'est plus nécessaire, pour son équilibre, que ces forces se détruisent ; il suffit que leur résultante soit normale à la surface, et, par conséquent, que les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la résultante soient proportionnels à ceux qui se rapportent à la normale. Or les premiers sont entre eux comme les quantités désignées précédemment par X, \ , Z. Les autres peuvent s'exprimer en fonction de jc, y, z au moven de l'équation de la surface; désignons-les par cos<7, cos6, cosc.

Les conditions d'équilibre sont donc exprimées par les

équations

COSrt ces 6 CO'sC

Si ces équations n'étaient pas satisfaites, il n'y aurait pas équilibre; et si l'on voulait savoir en quel point de la surface les forces proposées seraient détruites, il faudrait trouver les valeurs de a*, j', z qui satisferaient à ces deux équations et à celle de la surface.

Si la surface ne résistait que dans un sens, il faudrait s'assurer si la résultante des forces agit dans le sens contraire, sans quoi elle ne serait pas détruite. Ce cas est celui d'un point qui ne serait que posé sur une surface qu'il ne pourrait pénétrer, mais dont il pourrait être délacbé.

Si le point était assujetti à rester sur une courbe donnée, il faudrait, pour qu'il fût en équilibre, que la résultante fût perpendiculaire à la tangente. Or cette dernière ligne

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iail, avec les axes, des angles «, b. c dont les cosinus sont déterminés en fonction de x^ j', z par les équations de la courbe. La condition d'équilibre sera donc exprimée par léijualion

X ces a -h Y ces 6 ■+- Z cosc -=z: o.

Si cette équation n'était pas satisfaite pour le point donné, il n'y aurait pas équilibre. On déterminerait le point de la courbe où les forces données seraient détruites, en cliercbant les valeurs de x, y, z qui satisferaient à cette «'■qualion et aux deux équations de la courbe.

AUTRE MVNlÈnE D AVOIR ÉGARD A LV RÉSISTANCE DES SURFACES OU DES LIGNES.

G8. l-.a résistance d'une surface ou d'une courbe produisant toujours une force normale, on pourrait substituer cette dernière à la surface ou à la courbe, et considérer alors le point comme entièrement libre. La grandeur de cette force sera une des inconnues de la question; sa direction sera dans l'un ou l'autre sens de la normale s'il s'agit d'une surface, et ne sera assujettie qu'à être perpendiculaire à la tangente s'il s'agit d'une courbe.

Considérons d'abord le cas d'une surface dont l'équation soit ¥{x^y^ ^) = o; soient N l'intensité de la force normale qui la remplace, et «, 6, c les angles qu'un des deux sens de la normale fait avec les axes; les composantes de j\ seront

ihNcosrt, ihNcost, ±:Ncosc,

les signes supérieurs correspondant à l'un des sens do la normale, et les signes inférieurs à l'autre. Maintenant, le point devant être considéré comme libre, les deux forces qui le sollicitent doivent être égales et opposées, ainsi (|ue leurs composantes respectives; les écjuations d équilibre