CHAPITRE V

lîxc se uoiwmc point (/'a/>pi/i. On voit donc que l'équilibre du levier exige que les couples qui naissent du transport de toutes les forces parallèlement à elles-mêmes au point d'appui se détruisent d"cu\-mémes. S'il n'y a que deux forces, il faut alors qu'elles soient dans un même plan avec le point d'appui, et que les deux couples qu'elles produisent soient de sens contraires et aient des moments égaux. Ces moments sont aussi les moments des forces par rapport au point d'appui.

La résultante des forces transportées au point d'appui, constituant tout ce qui n'est pas détruit par la rigidité seule du corps, ne l'est que par le point d'appui, et forme ce que l'on appelle la charge de ce point.

Si le levier n'était que posé sur une surface solide sur laquelle il pourrait glisser librement, le point d'appui pourrait glisser de même, et il faudrait pour l'équilibre que cette résultante fût normale à la surface fixe.

70. Cas d'un axe fixe. — Si eux points du système sont fixes, tous les points situés sur la droite qui les renferme sont invariables de position, et le corps est dans le même cas que s'il était assujetti à tourner autour d'un axe fixe, dont les points seraient susceptibles d'offrir en tous sens une résistance indéfinie. Si l'on prend cette droite pour axe des ^, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites, ainsi que les couples qui sont situés dans les deux plans qui passent par l'axe des ;, et dont les bras de levier pourraient être transportés sur cet axe même. Il ne reste donc plus que le couple résultant situé dans le plan xy., et qui ne saurait être détruit par l'axe fixe. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est donc, dans ce cas.

2(^V-jX)

71. Pour connaître les cfTorls exercés sur Taxe lixe, il faut composer les forces qu'il détruit. Les couples situés

clans le plan ZX et la force ^^ se réduisent à une force

qui rencontre Taxe, à moins que Ton n'ait X^ = o, auquel

cas on aurait un couple seulement : il en est de même dans le plan Z\ . Outre ces eflbrts appliqués à l'axe, il v a encore

la force ^Z, qui tend à l'entraîner dans le sens où elle est

dirigée. L'axe produit donc des forces égales et contraires à celles-ci, puisqu'il les lient en équilibre.

Si deux points seulement du svslème sont fixes, les résistances ne peuvent provenir que des deux points, et l'on devra décomposer les forces qui rencontrent l'axe en d'autres qui passent par ces points, et feront connaître les forces qu'ils produisent pour détruire celles-ci. Quant à la force dirigée suivant la droite qui les joint, elle peut être décomposée d'une infinité de manières en deux autres appliquées à ces points; et il en serait de même s'il y avait un plus grand nombre de points fixes sur la même droite.

72. On pourrait supposer (pie le corps eut la liberté de glisser le long de l'axe fixe, et en même temps de tourner autour de lui. Dans ce cas, l'axe détruirait toutes les forces dont la direction lui serait perpendiculaire, et n'en pourrait détruire aucune autre. Il faudrait donc décomposer chaque force qui rencontre l'axe en deux autres, l'une suivant l'axe, I autre perpendiculaire. Mais alors il est plus simple de prendre des axes rectangulaires, et les conditions d'é{|uilibre serctnl rxpriinéos parles deux équalion>

/^ V cosy m o, ^ l*(.r cos€ — v ces a) =: o.

On connailr;i la résistance de l'axe, en conqiosanl les cou-

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pies situés dans les plans ZX, ZY, et les forces dirigées suivant les axes des x et des j'.

Si le corps ne pouvait que glisser sans tourner, l'équation 2, P cos Y = o serait suffisante et nécessaire, et le couple

situé dans le plan xy ferait connaître la résistance opposée par l'axe à la torsion.

La machine que Ton nomme tour ou treuil nesl autre chose qu'un corps solide qui a la liberté de tourner sans glisser autour d'un axe fixe. Ce qui précède fait donc connaître la condition d'équilibre de cette machine et la charge que supporte l'axe.

r^orsque les forces se réduisent à deux, situées dans des plans perpendicul lires à l'axe, la condilion d'équilibre consiste en ce que ces forces soient en raison inverse de leur distance à l'axe.

Remarque. — Les deux derniers cas particuliers que nous venons de traiter donnent une interprétation, (ju il est bon de connaître, aux six équations de l'équilibre, relatives à des axes coordonnés rectangulaires. Si l'on considère trois droites reclangulaii'es qui se coupent en un même point, et qu'on fixe lune quelconque d'entre elles, de manière que le corps n'ait que la liberté de glisser le long de cet axe sans tourner, les trois premières équations d'équilibre expriment que les forces données ne permettront aucun de ces trois déplacements. Les trois autres expriment que, si le corps avait successivement la liberté de tourner sans glisser autour de chacun des mêmes axes successivement, aucun de ces déplacements ne serait produit par les mêmes forces.

73. Cas où le corps s appuie sur un plan fixe sur lequel il peut glisser librement. — On prendra pour plan des.x, y celui sur lequel le corps s'appuie par un nombre

g2 DE L'ÉQt'ILIBRE DFS FOBCES.

quelconque de points. Ce plan ne peut produire que des forces normales et de même sens, appliquées aux points de contact, et les forces ont nécessairement une résultante normale égale à leur somme. 11 est donc nécessaire que toutes les forces appliquées aux corps aient une résultante parallèle à l'axe des z : d'où résultent les équations

^Pcosa=:o, ^I'cosê = o, ^^P{xcos(j — >'cbsa):=o.

De plus, en composant successivement les forces développées par le plan lixe, on reconnaît facilement que leur résultante ne peut avoir son point d'application en dehors du polygone convexe qui renferme tous les points de contact :

il est donc nécessaire cpic la résultante de la force ^Pcosy

et des deux couples situés dans les plans ZX, ZY ait son point d'application dans l'intérieur de ce même polvgone, et tende à appuyer le corps sur le plan. Réciproquement, si cette condition est remplie, l'équilibre aura lieu, parce que cette résultante pourra toujours être décomposée en forces normales au plan, et appliquées aux divers points de contact.

Ces forces devront satisfaire seulement aux trois équations données par la théorie des forces parallèles ; elles seront donc indéterminées, s'il y a plus de trois points. Si tous les points sont en ligne droite, le point d'application de la résultante devra se trouver sur celte droite, et il y aura indétermination, lors même qu'il n'y aurait que trois points. «Enlin, s'il i\\ avait qu'un point de contact, il serait nécessaire qu'il fût situé sur la direction de la résultante. Cette indétermination, (pii indique sculnncnl la possibilité évidente de décomposer d uMf iuriiiité de manières la résultante, ne signifie pas que le problème physique qui aurait pour objet de déterminer les efforts exercés sur le plan, aux points par lesquels le corps s'appuie, est indéterminé. Dans ce problème il faut

cii.vpiTni; V. gl

Icnir compte de la flexibilité du plan cl du corjis, et l'on déterminera la pression qui a lieu en chaque jxiinl d'après les hvpolhèses qu'on fera sur l'état élastique de ces corps. Cette question ainsi envisagée ne donne lieu à aucune dilficulté de conception; mais le calcul en offre qu'on ne saurait surmonter généralement.

KQVII.IBRK D IN SVSTIÎMI:: NON RIGIDE, COMPOSE DE PLUSIEURS SYSTÈMES RIGIDES.

74. Lorsque tous les points d'un système ne sont pas invaria])lement liés les uns aux autres, on ne peut plus faire les compositions et décompositions qui réduisent toutes les forces à une seule force et un seul couple. Le principe général d'après lequel on ramène ce cas au précédent, consiste en ce qu'il est évidemment nécessaire et suffisant que chacun des systèmes rigides partiels soit en équilibre au moven des forces qui agissent sur lui, et qui se composent, tant des forces données que de celles qiii naissent de sa liaison avec les autres systèmes. Cela posé, on pourra, d'après les théories précédentes, former les équations d'équilibre de chaque système rigide, dont le nombre pourra varier d'un à six pour chacun d'eux. En éliminant les forces provenant des liaisons, on aura les équations auxquelles devront satisfaire les forces données, pour que le système composé soit on équilibre; et les équations qui auront servi à l'élimination feront connaître les valeurs de toutes les forces de liaison, et leurs directions, quand elles ne seront pas données immédiatement.

Dans le cas particulier où l'équilibre de chaque système n'exigerait qu'une équation, et où la communication de l'un à l'autre ne donnerait lieu qu'à deux forces égales et contraires, il est facile de voir qu'il n'y a qu'une seule équation nécessaire pour l'équilibre des forces données.

g.( i)K l'équilibre des forces.

En effet, soit m lo nombre des systèmes, on aura ni équations déqulllbre cl m — i forces inconnues, développées parla communication du premier avec le second, du second avec le troisième, et ainsi de suite jusqu'au m'^™*.

Soient X,, X2, . . . , ^m~\ ces m — i forces. La première équation renfermera X|, la seconde Xi et X2, la troisième Xo et X3, enfin la dernière ne renfermera que X„,| sans compter toutes les forces données.

Tirant X| de la première et le reportant dans la seconde, puis Xo de celle-ci et le reportant dans la troisième, et continuant ainsi, on arrivera à une dernière équation ne renfermant plus que les forces données. Ce sera la condition unique de leur équilibre ; et toutes les équations précédentes feront connaître X|, X2, . . . , X„j(.