CHAPITRE V

cette Inpolhèse simplifiera beaucoup les expressions analytiques.

On voit Jonc ici, contrairement à ce qui arrive ordinairement dans la Géométrie, que c'est la courbe qui est la fiction, au lieu que ce soit le polygone.

Voyons maintenant comment un pareil système peut être en équilibre, lorsque deux forces sont appliquées à ses extrémités. Or, l'équilibre de chaque sommet exigeant que les côtés adjacents soient en ligne droite, le fil entier ne pourra former qu'une ligne droite. Les deux forces devront être égales, opposées et dans la direction du fil, puisque nous avons démontré que cela était nécessaire dans le cas d'un système rigide, et que l'équilibre subsisterait en rendant le fil rigide : et cela étant, il est évident que le fil ne pourra prendre aucun déplacement. Une de ces forces s'appelle la tension du /il.

76. Deuxième exemple. — Considérons en second lieu deux leviers, c'est-à-dire deux systèmes rigides liés respectivement à deux points fixes 0,0' {Jig. 8) autour desquels

ils peuvent tourner librement, et sollicités par des forces quelconques. Un fil flexible a ses extrémités fixées en deux points M, M' de ces corps. On demande les conditions d'équilibre de ce système, qui est dans une position donnée où le fil a tous ses points en ligne droite, et peut avoir une tension inconnue quelconque.

96 DE l/ÉQlILIBUE DES FORCES.

En désignant cette tension inconnue par X, le levier MO sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont directement appliquées, et de la force X qui agit de M vers M'; il résulte de là les trois équations connues, qui renferment chacune X au premier degré. De même le corps M'O' sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées et de la force X qui agit de ÎM' vers M. On trouve ainsi Jrois nouvelles équations qui renferment encore X au premier degré.

Tirant la valeur de X de l'une de ces six éf|uations, on connaîtra la tension du fd ; et la reportant dans les cinq autres, on aura les équations de condition auxquelles doivent satisfaire les forces données pour que le système soit en équilibi'e.

77. Troisième exemple. — Considérons maintenant le système composé d'un levier et dun treuil, c'est-à-dire d'un corps qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe; le pre-

Fis. 0.

mier pou\anl tourner libreni».'iil autour du point O. li l'autre autour de l'axe AZ {Jig- 9). Us sont sollicités par des forces quelconques et se touchent en un point M. On demande' les conditions pour qii'il y ait équllil)re, et la valeur de la pression mutuelle ru M.

Désignant jiar \ riulonsité inronnue de eellc prrssion, le cor|)s MO sera eu ('(piilibie sous laction dc^ lorces qui

cn.vpiTnE V

V sont directement a|>pliqiu'es et de la force X dirigée suivant >1N. Il résultera de là trois équations qui reniernicront X et les forces proposées.

Le second corps sera en équilibre sous l'action des forces qui V sont appliquées et de X qui sera dirigée de M vers N'. L'équilibre de ce corps, qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe, conduira à une équation unique renfermanl X. On aura ainsi quatre é(|uations, dont l'une fera connaître X, et les trois autres donneront, par la substitution de celte valeur, trois équations de condition entre les quantités données.

78. Quatrième exemple. — Prenons maintenant pour exemple un polvgone formé par des droites rigides, dont les

angles peuvent varier sans opposer de résistance, et dont les extrémités sont assujetties à rester sur des courbes données.

Soient ABCDE {fig. lo) ce polygone; P, Q, R, S, T les résultantes des forces appliquées respectivement aux points A, B, C, D, E.

Chacun de ces points doit être en équilibre au moyen des forces qui agissent immédiatement sur lui et de la résistance de la courbe; et, par conséquent, la résultante des forces, abstraction faite de cette résistance, doit être normale à la courbe.

Dlh. — Metli. IV. -

(jS DE L EQUILIBRE DES FORCES.

De niènn', chaque côté doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées; ce qui exige que les deux résultantes de toutes celles qui agissent séparément en A et en B sur celle tige, soient égales et directement opposées, et, par suite, que cette direction soit celle du côté lui-même : d'où il résulte que ce côté produira deux forces égales et contraires, agissant dans la direction de cette tige.

Cela posé, désignons par X, Y, Z, U les forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient «, b, c, </, e les angles que font les directions des forces P. Q, R, S, T avec les tangentes aux courbes données, considérées ■dans des sens déterminés; a, a' les angles que les directions des deux lorces X font avec les tangentes en A et B; 6, 6' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C; et ainsi de suite.

L'équilibre du point A donnera la condition

P cos rt -h X ces oc r= o.

L"c(|uilibre du point B donnera

X ces a,' 4- Q ces b -r-\ cos ^ ^rr o,

et Ton trouvera de même pour les autres points

Y cosê' -f- W cos c -\''L cos Y ^^ o,

Z cos y' -r- S COSf/ -h U COs5 rr: O,

u coso' -+- T cose r^ o.

Kliminant \, Y, />, U cnlro toutes cos é(pialions, il en reste une seule entre les forces données, qui sera la condition d'équilibre du système. Les autns feront oortn.iitre les intensités des forces X, \ , /, U.

(Miant au sens dans lecpiel elles agissent, et qui n'est pas coiimi d'avance, il sera di-liTininé par les signes que

cnAPiTRF: V. 99

devront avoir les cosinus des angles a, a', 6, 5', .... Ainsi, la première équation, faisant connaître le signe de cosa, détermine le sens de la force X, provenant de la tige AB et agissant en A; d'où résulte le sens de la seconde force X, appliquée en B, et par suite le signe de cosx'. La seconde équation fera connaître ensuite le signe de cos6, d'où résultera le sens de la force Y agissant en B; et ainsi de suite jusqu'au dernier coté.

79. Si l'une des liges était normale à l'une des courbes, il en résulterait des conséquences particulières qu'il est bon de remarquer. Supposons, par exemple, que BC soit donnée normale à la courbe en B, on auia

cosêr=o,

et les deux premières équations donneront, par IV-Hinination de X, une équation de condition, qui ne sera autre que la condition d'équilibre des deux forces Pet Q, qui seraient appliquées à la tige unique AB, dont les extrémités seraient liées aux deux premières courbes. Cela devait être, en effet, puisque la force Y, étant détruite par la résistance de la courbe en B-, doit être regardée comme n'existant pas pour les points situés du côté de B que l'on considère.

Les trois autres équations donneront, par l'élimination de Z et U, une équation qui sera celle de l'équilibre du svstème C, D, E, considéré isolément, et dans lequel il v aurait une force indéterminée Y agissant en C suivant la ligne BC, dans l'un quelconque des deux sens, et qui sera déterminée par celte équation. En effet, celle lige BC peut être sollicitée par une force quelconque en C dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résulter aucun déplacement, vu qu'elle sera détruite par la résistance de la couibe à laquelle elle sera normale en B.

loo DE l'Équilibre des forces.

80. Cinquième exemple. — Considérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et inextensibles, et formant ce que l'on appelle un polvgone funiculaire. Dans ce cas, les systèmes rigides partiels se réduisent à des points. Soient A, B, C, D {Jii!- ii) ces points; U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées, et dont les deux extrêmes U, V agissent par rintermédiairc des fils ou cordons AU, DV.

Pour que ce système soit en équilibre, il faut (jue chacun

Fiî;. 1 1.

des points A, B, C, D soit en équilibre au moven des lorce^ qui y sont appliquées. Ainsi, par exemple, le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par lo cordons BA, BC, et la force Q; ces trois forces devront donc être dans un même plan, et chacune d'elles proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres. Mais l'équilibre de chacun des cordons exige encore qu'il soit tiré par des forces égales et contraires, et dont l'intensité est la tension du cordon. Au moyen de ces conditions, on pourra déterminer les tensions de tous les cordons, et les rapports des forces entre elles, lorsque l'on connaîtra la figure du jtoKijone en équilibre.

81. On peut déterminer très simplement la tension 1 d'un cordon quelconque CD, en observant (|u'il > a équi libre entre celte force T et la partie du système »jui est située

CH.VPITRK V

trnn côté quelconque de CD. Considérons, par exemple, les forces U, P, Q, R et ï; elles ne cesseront pas d'être en équilibre si Ton rend inflexible le polygone ABC; et, par conséquent, la force T est égale et opposée à la résultante des forces U, P, Q. K; et, comme on peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante sans changer leur efl'el, on obtient le théorème suivant :

La tension d'un cordon quelconque est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté de ce cordon, et transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque de SCS points.

82. Lorsque le polygone est en équilibre, il v sera encore si l'on rend sa figure invariable; et, par conséquent, toutes les forces extérieures qui v sont appliquées, doivent satisfaire aux conditions d'équilibre d'un système rigide. Si donc on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une résultante nulle, ce qui donne trois équations.

Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra donner au polygone une figure telle, que les forces, données de grandeur et de direction, s'y fassent équir libre.

En eflet. plaçons arbitrairement le point A, et donnons au cordon AB la direction opposée à la résultante de U et P, et une tension égale à cette résultante. Donnons ensuite au cordon BC une direction contraire à la résultante de la force Q et de la tension du cordon AB, et une tension égale à cette résultante; et continuons ainsi jusqu'au dernier sommet D : la direction et l'intensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles, que le polygone entier y soit lui-même; elle sera donc égale et opposée à la résultante des forces U. P, Q, R, S, transportées en D, el. par conséquent, sera la force donnée A . On

lO?. DE L EQUILIBRE DES FORCES.

peut donc toujours donner au poKgone une force telle, que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées en un même point, elles s'y détruisent. Celte conséquence, étant indépendante du nombre des côtés du polygone, aura lieu encore à la limite, lorscjue, les côtés tendant vers zéro, il s'approchera indéfiniment de se confondre avec une courbe.

83. Si les extrémités dii cordon sont fixes, les forces U et \ ne sont plus données, et Ton peut encore se proposer de déterminer la forme du polvgone en équilibre, et les valeurs de ces deux forces.

Pour cela, on partira de la première extrémité fixe U, et Ion supposera connues les trois composantes de la tension U; on déterminera, en conséquence, la position du point A, ainsi que les positions des autres- points et les tensions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrême du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point, que l'on peut supposer nulles, el des trois composantes de la force U. En égalant ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point fixe, on aura trois équations qui détermineront ces composantes, ainsi que toutes les tensions et les positions de tous les sommets.

84. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces l', V ont une résultante : d'où il suit que les forces P, Q, R, S en ont une égale et opposée; el, par conséquent, lorsque le j>olvgone est en équilibre, et que les deux extrémités sont fixes, on connaîtra rolTorI exercé sur chacune d'elles en prolongeant les cordons qui y aboutissent, puis transportant à leur point de concours les forces données, elles déc()nq>osant en deux forces dirigées suivant CCS nicmcs cordons, (^-harune de ces romj^osanlcs mesurera

CIIVIMTRE V.

la tension du cordon correspondant et l'efforl (jiii sera exercé sur le point fixe où il est attaché.

85. Lorsque toutes les forces P, Q, R {Jig. 12) sont parallèles,- il est facile de voir que tout le svstèmc est coinpris dans un même plan. Supposons, de plus, que l'un des cordons, BC jiar exemple, soit perpendiculaire à la direction des forces; remplaçons-le par une force égale à sa len-

Fis. 12.

sion, et ne considérons que les forces situées d'un même côté de ce cordon. La tension dun cordon quelconque DE est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté et transportées au point D; donc la composante perpendiculaire aux forces sera constante pour tous les cordons, et égale à la tension BC; et la composante parallèle aux forces sera la somme de toutes ces forces, depuis B jusqu'en D.

86. Lorsqu'une force sollicite un point qui est retenu par plusieurs cordons, on aura la tension de chacun d'eux en décomposant cette force en d'autres qui soient dirigées suivant tous les cordons. Il y aura indétermination si leur nombre est plus grand que trois; et cela tient à l'hvpothese que l'on fait de l'inextensibilité des cordons. C est ainsi que nous avons déjà vu que les pressions exercées par un

Io4 DE L KQlIMBnE DES FOKCES.

corps qui repose sur un plan par plus de Irois points, ne sont pas déterminées individuellement. Dans la réalité, les pressions en chaque point du plan et les tensions de chaque cordon sont déterminées, parce que chaque cordon s'allonge, et chaque point de contact d'un corps sur le plan cède plus ou moins. Ces circonstances, jointes aux propriétés physiques de la matière qui les forme, font connaître chaque ibrce en particulier; mais ces recherches sont étrangères à celle partie du cours, et nous ne nous en occuperons pas.

87. Sixième exemple. — Équations de l'équilibre d'un fil dont tous les points sont sounns à l'action de forces données.

Nous avons supposé jusqu'ici que les forces étaient appliquées à des points sans étendue, et qu'elles étaient en nomhre fini; mais, dans bien des questions, tous les poinis d'un corps sont supposés soumis à l'action de l'orces, et Cf^ forces ne peuvent être finies, sans quoi la plus petite partie que l'on concevrait dans le corps serait sollicitée par une force infinie, ce qui serait inadmissible. Dans toutes les questions di; ce genre, on conçoit en un point quelconque du corps un volume infiniment petit dans tous les sens, dont il fasse partie et qui tendra vers zéro, en comprenant toujours ce point; à ce volume sera appliquée une force dont la direction donnée déjiend de la jiosition du point et décroissant indéfiniment avec lui et dans un rapport dont la limite est finie et donnée. Cette limite se nomme la force appliquée au point considéré, rajtportée ù l'unité de volume.

D'après cela, il est clair que, si \\n\ donne en fonction des coordonnées des poinis, la grandeur cl la dirccliKu de celte force, il suffira, pour avoir la force appliquée à un volume infiniment pelit d.ms ions les sens, de considi-ior

CUVIMTRR V. 10*)

un quelconque de ces points et de raultipller la force appliquée à ce point par ce volume : on aura l'expression de la force appliquée au volume, à un infiniment petit près, par rapport à ce volume, et il en sera de même pour sa direction; de sorte que Ton pourra obtenir avec exactitude les résultats qui ne dépendront que des limites des rapports ou des sommes.

88. Appliquons ces considérations générales au cas d'un (il. Soient X, Y, Z les composantes de la force qui sollicite un point quelconque du fil, et qui est rapportée à l'unité de longueur; de sorte qu'un arc infiniment petit ds soit sollicité par une force dont les composantes soient X^/5, \ <:/•>, 'Lch. Les extrémités du fil peuvent être fixes, ou sollicitées par des forces données de direction et d'intensité; il s'agit de trouver les conditions de l'équilibre du svstème, qui n'est autre chose qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini de cotés.

Or, dans cet état, un élément infiniment petit quelconque du fil doit être en équilibre au moyen des forces qui v sont apj)liquées; et récipi'oquement, si cela a lieu, le fil entier sera en équilibre.

Soit donc ds un élément quelconque, il ne cessera pas d'être en équilibre si l'on rend sa figure invariable. Or les forces qui le sollicitent sont les tensions extérieures exercées à ses extrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points, et de plus les forces Xf/5, \ ds^ Tjds.

La tension T, variant d'une manière continue en même

temps que l'arc s de la courbe, en est une fonction conti-

, . dx dv dz y , n ■ ^

nue, ainsi que les cosinus -7-, -^, -y des aneies que lait la ' ds ds ds ° ^

tangente avec les axes. Les composantes de la tension, considérée dans le sens où s augmente, sont donc, aux deux

io6 DE l'Équilibre des forces.

extrémités de l'arc ^5,

et

ds ds ds '

Ï$^,/^T^^V T^4^-r/fT^'U T^-^^T^^-

ds \ ds ) ds \ ds ) ds \ ds

Supposons les arcs s comptés à partir de l'extrémité A. (Jig' i3), et soit MN l'arc infiniment petit ds. Les direc-

Fig. i3.

tiens des deux forces tangentes aux points M et N se rencontrent si la courbe est plane, et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas dune courbe à double courbure, parce que leur plus courte distance est du troisième ordre infinitésimal, ds étant du premier. Elles peuvent donc être considérées comme avant une résultante située dans le plan osculateur, en négligeant le troisième ordre infinitésimal. Les forces qui agissent en tous les points de MN doivent donc avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan osculateur de la courbe. Les conditions cberchées de l'équilibre sont donc celles des forces appliquées à un nième point, «'t elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles à chaque axe sont séparément nulles. Si donc on

observe «pie les composantes T --^> T -^> '^ "T <^'^'^«^'"'