CHAPITRE VI. I i

manière suivante : « Lorsque les forces quelconques sont en équilibre sur un système de points assujettis à certaines liaisons, si l'on conçoit ce système déplacé infiniment peu en satisfaisant toujours à ces conditions de liaison, la somme des produits de chaque force par le déplacement de son point d'application, projeté sur la dn-ection de cette force, sera égal à zéro, en regardant comme positives les projections qui sont dans le sens des forces, et comme négatives celles qui sont en sens contraire. »

Bernoulli se contenta d'énoncer cette proposition générale et ne la démontra point. Il est vraisemblable qu'il v était parvenu en considérant des cas plus compliqués que ne l'avait fait Galilée, et qu'il l'avait généralisée par simple induction. Il la communicjua en 1717 à Varignon, qui en donna lénoncé dans sa Aoin'elle Mécanique, et ne la démontra que dans quelques cas très simples. Lagrange, dans la première édition de sa Mécanique analytique, l'admet comme un principe reconnu, ou, suivant sa [)ropre expression, comme une espèce d' axiome de mécanique ; et il se propose de le réduire en une formule générale, qui renferme la solution de tous les problèmes qu'on peut proposer sur l'équilibre des corps. Ce n'est qu'après la publication de ce grand Ouvrage de Lagrange, que parut la première démonstration généi'alc du principe en question. Elle esl due à Fourier et ne date que de 1797. H en a paru depuis un grand nombre d'autres, et Lagrange lui-même a cru devoir en proposer une dans la seconde édition de la Mécanique analytique. Avant de faire connaître celle (pie nous avons adoptée, nous allons, en suivant la marche même de cette découverte, montrer d'abord, dans quelques cas simples, comment on a pu reconnaître la vérité de la proposition dont il s'agit.

Mais, pour la commodité du langage, nous em|)l(iicrini> certaines dénominations inlnjduites par Bernoulli, cl qui'

|i(i DE LtQlILIimE DES FORCES.

nous allons expliquer, dans Je sens précis uù elles soiil entendues aujourd'hui.

9i. Lorsque l'on considère un syslème quelconque diiioinls dans une première position, et que l'on suppose eii- .suile (jue chacun deux soit placé dans une posijion infiniment voisine de celle qu il occupait, sans cesser de satisfaire à toutes les conditions qui dépendent de la nature du système, on nomme vitesse virtuelle d'un quelconque de ces points la droite qui joint sa première position à la seconde. i>etle dénomination vient de ce que Ion peut concevoir <ïue ce déplacement se fasse avec uniformité dans un menutemps infiniment petit, et qu'alors les espaces pai'COuru> r.onl proportionnels aux vitesses, et en outre de ce que ce déplacement n'est que possible et ne s'effectue récllemenl pas.

La vitesse virtuelle d'un point, estimée suivant une direction déterminée^ est la projection de cette vitesse sur cette direction. En la mesurant par le produit de la vitesse par le cosinus de l'angle que fait la direction du déplacement avec celle suivant laquelle on estime la vitesse, le> l<»rmes de l'équation que nous allons énoncer seront pri-cisément ce qu'ils doivent être poiu- en établir la généralih'.

Nous appellerons moment ii/fuel d'une force le produit <le son intensité par la vitesse virtuelle de son point d'application, estimée suivant la direction de la force.

D après cela, le principe de BernouUi consiste en ce qur :

Si un sjstème quelconque de points est en équilibre, et <jue l'on conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible avec toutes les conditions rm.rqiK'lli'S il est assu jrlli, l<i somme des moments virtuels Je toutes b's forces est nulle, quel (jue soit ce dé/dacement. /ù réciproquement, si cette condition a lieu pour tous les 4téplacements virtuels, le .sistème est en équilibre.

CIIAI'ITRIÎ VI.

Dans cet ('•nonci', les infininicnt jjelils sont considérés (Je la nianièro ordinaire. L"é(jnation nVsl exacte qu'en coii- «^idérant les limites des rapjiorts, après avoir divisé par Tune quelconque des quantités infiniment petites; en d autres termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Cela pose, passons à l'examen de cas particuliers qui prépareront à rélahlissemont de la proposition i^^énérale.

9o. Ji(/iiilihre d'un point unique. — Léquilihre d'un point entièrcm<?nt libre exige que la somme des Torces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et, réciproquement, si cela est, ilya équilibre. Soient donc P l'une quelconque des forces appliquées à ce point, \j. fanglc qu'elle forme avec une direction quelconque, on devra avoir

^ P cosy. -=■ o;

et réciproquement, si celte équation a lieu pour toute direction, le point sera en équilibre. Si l'on multiplie tous les ternies par luie quantité arbitraire /«, lécpialion dc-

^ P //? rosa — o.

Or mcos\). est la grandeur m portée, à partir du point donné, sur la direction que l'on considère, et projetée sur la direction de la force P; de plus, le point étant entièrement libre, ni peut être considéré comme la distance de sa première position à une autre quelconque qu'il pourrait prendre; et, en la supposant infiniment petite, elle sera ce que nous avons appelé la vitesse virtuelle de ce point.

Ainsi > P/?jcos!x est la somme des moments virtuels dcs^

Il8 DE L KQVILIBRE DES FORCES.

forces; donc, si le point est en équilibre, celte somme est nulle, et réciproquement : ce qu'il fallait démontrer. On peut observer que, dans ce cas, on peut prendre, au lieu de la vitesse virtuelle, une quantité finie quelconque; et, de plus, que la somme des moments virtuels est rigoureusement nulle, et non pas seulement égale à une quantité infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes. Si Ion désigne par p la distance dun point déterminé quelconque, pris sur la direction d'une force P à son point d'application, /ncos-j. sera l'accroissement virtuel, positif ou négatif, de /?, que nous représenlerons par ;/), et l'équation précédente s'écrira ainsi :

96. Dans le cas où le point n'est pas en équilibre, il suffirait, pour qu'il y fut, que l'on introduisît une force égale et opposée à la résultante. Or la somme des moments serait alors nulle; et, de plus, deux forces égales et opposées, appliquées au même point, donnent, pour un même déplacement de ce point, des moments virtuels égaux et de signes contraires; donc le moment rirliiel de la résultante est égal^ en grandeur et en signe, à la somme des moments virtuels des composantes.

Dans cette relation, toutes les forces sont considérées en valeur absolue, et il est nécessaire d'examiner si elle se modifie lorsque les composantes sont suscejuil)les d'être aflectées d'un signe quelconque, comme lorsqu'il s'agit d'une force P que l'on décompose en trois autres \ . '^ . /. parallèles à des axes rectangulaires.

Si d'abord on suppose ces trois forces positi\es. les variations 5./*, î»', Iz seront eu gninilmr et en signes bvs vitesses \iitu(llt^ (•■.Imurs dims II- srns de ers forces res-