CHAPITRE VI

pcctives, el 1 on aura

Pop=^ X or -+- Y 8 V 4- Z 5- .

Si inaintciiaiit une quelconque crenlre elles, \ par exemple, est négative, la valeur absolue de la force sera — Y, mais aussi la vitesse virtuelle estimée dans le sens de cette force qui est contraire au premier sera — q^', cl le moment virtuel sera toujours exprimé par \ cy] de sorte que léqualion précédente est générale, en considérant de la manière ordinaire les signes des composantes, ainsi qu.e des coordonnées : c'est d'ailleurs ce que l'on trouverait directenienl en projetant sur la résultante la ligne brisée formée par zx cv, oz- et la vitesse virtuelle.

Si les axes étaient obliques, \lx ne serait pas le moment virtuel de la force X, puisque Ix ne serait pas la projection de la vitesse virtuelle du point sur la direction de X; il en serait de même des deux autres composantes, et l'équation précédente ne subsisterait plus.

Remarque. — Cette propriété importante que le moment virtuel de la résultante de forces concourantes est égal à la somme de ceux des conij^osantes, s'étendrait facilement au cas des forces parallèles qui peuvent être regardées comme limites de forces concourantes. On reconnaîtrait d'abord que le moment virtuel d'une force ne change pas lorsqu'on transporte son point d'application en un point quelconque de sa direction, lié fixement au premier; et que, dans le déplacement infiniment petit d'une droite de longueur fixe, les vitesses virtuelles de ses extrémités, estimées suivant sa direction, sont égales et de même sens, au second ordre près. Cela posé, en regardant deux forces parallèles, appliquées à deux points donnés comme limites de deux forces concourantes passant par ces mêmes points, le moment virtuel de la résultante de ces dernières étant toujours égal à la somme de ceux de ces forces, on parvient

lUO DE LKQIILIBRE DES FORCE.-.

sans peine à la même conclusion pour la résullanle de forces parallèles.

Mais on v parvient directcmcnl en observant que, lorsque la droite qui joint les points d'application des deux forces parallèles et de leur résultante, se déplace infiniment peu, les vitesses virtuelles de ces trois points, estimées dans la direction de cette droite, sont égales et de même sens. Et comme la résultante est égale à la somme algébrique des composantes, son moment virtuel est égal à la somme algébrique de ceux des composantes.

97. Si le point est assujetti à rester sur une surlace fixe, nous savons qu'il est nécessaire. et suffisant, pour l'équilibre, que la résultante soit normale à cette surlace, et par conséquent que > Pcos;j. soit nulle pour toutes les directions

situées dans le plan langent. On aurait donc encore, comme dans le cas précédent,

Vp

m ces a :^ o ;

mais on ne pourrait plus regarder m comme la dislance de deux positions possibles du point, puisque rextrémité de la ligne m ne se trouve pas sur la surface.

Mais, si l'on prend sur la surface même un point siluê à une dislance infiniment petite Is du premier, la direction de la droite qui les joint a pour limite celle dune tangente

quelconque à la surface, cl par conséquent > Pcosy, est

infiniment petit; donc >Pc5C0S;j, esl infiniment pelil

par rajipurt à Zs; et par const'ijuenl, dans le sens ordinaire où l'on entend les équations inlinitésiniales, on a

7 P wcosa t=:o.

CU.VPITRK M.

Donc, clans ce nouveau cas d'équilibre, la somme dos inomenls virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment petits, compatibles avec les conditions de la question; et réciproquement.

98. Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixe, il est nécessaire et suffisant, pour ré((uilil)re, que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale à zéro. Doù l'on conclut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par o5 un arc infiniment petit de la courbe, on aura

Vp

os ces a - o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre. 11 est donc nécessaire et suffisant, pour l'équilibre, que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points, compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.

Si le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu'il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fut normale. Les conditions que nous venons d'indiquer auraient donc encore lieu, mais ne suffiraient plus. La somme des moments virtuels ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point suivant des droites inclinées au plan tangent, quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la questuîu. Elle serait égale au moment de la résultante; or celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D'où l'on conclut que, dans l'équilibre d'un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le point se déplace sur la surface, et négative pour tous les autres déplacements qu'il peut subir.

I«2 HE L'iCQUILIBnE DES FORCES.

99. Si nous considérons maintenant les diverses machines simples, en équilibre sous l'action de deux forces seulement, il est facile de reconnaître que les condilions connues conduisent à cette proposition générale :

Si deux forces sont en équilibre sur un pareil système^ leurs intensités sont réciproquement proportionnellrs aux longueurs obtenues en projetant sur leurs directions les. espaces qui seraient parcourus par leurs points d'application, si l'on faisait passer géométriquement le système dans une position infiniment voisine, en satisfaisant toujours aux conditions auxquelles il est assujetti.

Cette proposition peut être changée dans légalité des produits des extrêmes et des movens. Et, si l'on observe que les deux projections des espaces parcourus sont dirigées, l'une dans le sens de la force et l'autre en sens opposé; que, de plus, on convienne de prendre la première comme positive, et l'autre comme négative, la propriété générale de l'équilibre des machines s'énoncera ainsi :

Lorsque deux forces sont en équilibre sur une machine quelconque, la somme des produits de ces forces par les déplacements infiniment petits, et simultanément possibles, de leurs points d'application, projetés sur leurs directions respectives, est égale à zéro. Et réciproquement, si cela a lieu pour tous les déplacements /wssibles, il y a équilibre.

La même proposition s'étendrait au cas où les forces en ('•(|iiilibic sur la machine seraient en nombre quelconque.

10(1. Cas <r un système rigide quelconque. — Considérons maintenant un svstème quelconque de points liésenln* eux d'une manière invariable, ou, en d'autres termes, un corps solide <|uclcon(|ue: vo cpii eonqirenilra h^^ cas particuliers des lignes ou des surfaces rigities, que nous ne ir.ii- Icntns j)ii>; à p;irl, pour nr pjis lri)|> iniill i|)lii-r li> ilct.iils.

CHAPITHE VI. I0.3

Les conditions nécessaires et suflîsanlcs de réquililjre d'un corps solide sont, en désignant par X, Y, Z, les composantes positives ou négatives de la force ap|)liquée au point quelconque dont les coordonnées l'cclangulaires sont