CHAPITRE MU

centre de gravité à un plan quelconque, est égal à la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses éléments injiniment petits en tous sens^ par les distances d'un quelconque des points de ces éléments respectifs, ou d'autres points injiniment voisins, à ce nu'nw plan.

Si le corps est homogène, le poids d une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spécifique de la substance; mais, s'il ne 1 est pas, le poids d'un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen, qui ne différera que d'une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l'élément par le poids spécifique relatif à 1 un quelconque de ses points, ou des points infiniment voisins; et, en substituant ce produit au poids réel de l'élément, il n'en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids^ et de leurs moments.

Ces propositions peuvent facilement être exprimées par des formules infinitésimales.

Désignons par p la fonction de x, j^', ;: qui représente le poids spécifique en un point quelconque du corps; par P son poids total et par jti, j',, :;, les coordonnées de son centre de gravité; on aura, pour déterminer ces quatre quantités, les équations suivantes :

I f I pdxdydz, VJC^ — f f fpr d.r >Jv riz.

Py^ = fjjpvdxdydz,

P..,=r f ffpzdudjdz.

i58 DE l'équilibre des forces.

Les trois dernières s'oblicnnenl en prenant les moments (Je tous les éléments du corps par rapport aux trois plans coordonnés rectangulaires.

Les intégrations doivent être faites dans toute l'étendue du corps. Elles se simplifient beaucoup lorsque le corps est homogène, p n'étant plus alors qu'un facteur constant.

Si les points étaient déterminés par des coordonnées polaires r, 6, 'i, on prendrait toujours les moments par rapport aux trois plans coordonnés, et l'on déterminerait encore les coordonnées rectangulaires j",, V(, Z\ du centre de gravité ; on pourrait ensuite en déduire ses coordonnées polaires /'i, Oi, '|(.

Les quatre équations précédentes seraient remplacées par celles-ci

^ =Ç Ç Cpr^ sin- 0 f/0 rf-} dr,

Par, "- f f f P''^ sin-0 cosi dd dl dr,

Pj, - f f fpr^ sin- 0 sin .J/ ^0 rf-} dr,

Pzy - f f fpr^ sin- 0 sin i/ rfO dl dr.

Les intégrations s'effectueront dans toute Télcndue du corps suivant les règles données dans le calcul intégral.

On obtiendrait semblablement les formules relatives aux centres de gravité des surfaces et des lignes. Pour ces détails et les applications parli<iilièrcs nous renverrons aux traités spéciaux.