DIVERSES PROPRIÉTÉS DES CENTRES DB GRAVITÉ

121. Propriété de nitixiniuni et de minimum. — Pour traiter cette cpieslion avec toute la généralité qu'elle com-

ciiAPixnE vni. )59

poiio, il faut tléfînir avec pivcision ce que l'on cntciul paile cenlrc de gravité d'un système dont la forme est variable.

Les règles que nous avons données pour la composition des forces supposent que les points auxquels elles sont appliquées sont liés invariablement entre eux; elles ne s'appliqueraient pas s'il en était autrement, et des forces parallèles appliquées à un système non rigide ne donneraient ni résultante, ni centre des forces; la pesanteur ne donnerait donc pas Heu à la considération d'un centre de gravité pour un pareil système, et une seule force ne pourl'ait pas remplacer les forces données.

Néanmoins, en considérant que des propositions importantes qui s'expriment très simplement au moyen du centre de gravité d'un système rigide, auraient un énoncé plus compliqué dans le cas d'un système variable, tandis que, par un légère extension de définition, un seul énoncé suffirait pour tous les cas, on a fait ce que nous avons fait ressortir tant de fois, et l'on a donné la définition suivante du centre de gravité : « Le centre de gravité d'un système » rigide pesant est le point d'application de la résultante » des forces produites par la pesanteur; et, lorsque le sys- » tème est variable, c'est le point qui serait le centre de » gravité ainsi conçu, si, à l'instant que l'on considère, le » svstème devenait rigide, avec les positions relatives » qu'ont alors tous ses points. »

122. Cela posé, considérons un système quelconque de corps pesants liés entre eux d'une manière cjuclconqne; prenons Taxe des z vertical, en sens contraire de la pesanteur : désignons par p le poids spécifique en un point quelconcpie et par ch l'élément de volume. Les trois composantes de la force appli(juée à dç auront pour valeurs

\-=^o, Y r^ o, Z- — pdv,

i6o DE l'Équilibre des forces.

cl le principe des vitesses virtuelles donnera /Z,lz=: o, ou

oz étant l'accroissement que le déplacement virtuel du système fait prendre au z d un point de l'élément infiniment petit dont le poids cslpdv.

Or pdvoz est l'accroissement que subit le produit zpdv

par ce déplacement, et par conséquent ^/?f/rs; est l'accroissement que prendra 7 zpdv. L'équation précédente

de\dent donc

0 7 zp dv = o.

Mais, si l'on désigne par P le poids total du système et par 3, le G du centre de gravité, on aura

et, par suite, ou simplement

lVz,-.o,

Les variations désignées par 3 se rapportent à tous les déplacements virtuels des points du système, compatibles avec leurs liaisons entendues avec la généralité que comporte le principe des vitesses virtuelles; cl ^^i est lordonnée du centre de gravité entendu comme nous l'avons indiqué précédemment.

On peut donc dire qu'en général Ci est maximum ou minimum; ce (pii donne celle proposition rrmartpiablo :

Lorsqu'un système de points pesanl&, assujettis à des