Si maintenant on ajoute les carrés des premiers

membres des équations (i), on obtient, en désignant par pp' l'angle des deu\ rayons p et p'.

pp po COSpp'r." o.

Mais p- -r- p'- — 2 pp' cos pp' = r-, r étant la distance des centres de gravité des corps />, />'; donc

Tous les termes qui renferment p- ont pour ex|)rcssion DuH. — A/éth. IV. II

pour p -, p

on aura

/>" H- . . .), et l'on en trouverait de semblables . . . ; de sorte qu'en posant

pp '-

Si tous les poids sont égaux et en nombre /??, on a

Cette dernière proposition est un cas particulier de la suivante, où l'on suppose que l'origine des coordonnées est un point quelconque de l'espace. Le théorème des moments donne alors, en représentant par R la droite menée de l'origine au centre de gravité du système; par a, b, c les angles qu'elle fait avec les axes; par p, p', . . . les distances de l'origine aux centres de gravité des corps />,/>', .... et par a, 6, Y, a', 5', v'. ... les angles que ces droites forment avec les axes,

PRcos« ----- 2.P? cosx, PRcos^ - X/^? cosê,

PR cosc

pzCOSf,

d où, en ajoutant les carrés dos membres de ces équations, et observant que les seconds membres sont les mêmes que dans le cas précédent.

P'R'-=v'^Pp'^^PP'r\

De celte équation on conclut <pu\ si la disfancc R </,\ centre de giavité d'un sjstdme à un point fixe <iuelcont]u\ restant constante, ce système invariable de forme se di place d'une manière quelconque, la somme des produtl

cuvpiTRÉ Vin. i63

des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité à ce point fixe sera constante.

En effet, R étant constant ainsi que les distances désignées par /■, il en résulte que 7^/'?- est constant.

On voit encore que > />p- est le plus petit possible quand

R z=i o, et par conséquent le centre de gravité dun système jouit de cette ]>ropriété, que la somme des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité respectifs à ce point est un minimum.

TIIKOREilE DE GVLDIX.

l2o. Le volume V, engendré par la surface plane comprise entre deux courbes dont les coordonnées sontj)', Y, et deux parallèles à l'axe desjK, correspondantes aux abscisses jTo, X, a pour expression

zrzTî r (Y-^~y^)dx.

Mais l'ordonnée j>', du centre de gravité de la surface en question, dont nous désignerons l'aire par A, est donnée par l'équation

ky,^'-r{Y'-~f-)dx;

donc