V-: arcviA

et, par conséquent, le volume engendré par une aire plane .^ tournant autour d'un axe situé dans son plan, est égal au produit de cette aire par la circonférence décrite par son centre de gravité.

126. La surface A, engendrée par la révolution d'un arc de courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son

l6î DE LKOriLIBRE DES FORCES.

plan, a pour expression

A = 27r / ych.

Mais l'ordonnée j>'i du centre de gravité de l'arc s, est donnée par l'équation

donc

A— 2rr,.î,

et, par conséquent, Vaire engendrée par un arc de courbe plane, tournant autour dhin axe situé dnns son plan, est égale à cet arc multiplié par la circonférence décrite par son centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce que l'on appelle le théorème de Guldin.

Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelconque de la révolution, étant proportionnels à l'angle dont la figure a tourné, il s'ensuit que, pour en avoir la mesure, 11 faudra prendre l'arc décrit par le centre de gravité, au lieu de la circonférence entière.

Extension de ce théorème. — Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes, le volume engendré s'obtiendra en multipliant son aire parla somme des arcs parcourus par son centre de gravité. Cette propctsilion, étant indépendante de la distance des axes, a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites, pourvu (ju'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile; et, dans ce cas, deux axes consécutifs peuvent être parallèles ou se rencontrer.

Par exemple, si l'un suppose un«* courbe plane, et que la surface génératrice se meuve de manière (pie son plan -^oil toujours normal à celte courbe et soit toujours pmc par elle au même point, cl quf Ions les poinl» n'alnil que des mouvenuril» p,irallèl(»s au plan de la courbe (lirectricc, on