CHAPITRE IX

partiellement /' par rapport à a, 6, y? 01^ obtient

dr (-r— g) ^/- (y- 6) ^/• (-- — y) ^x /• d^j r dy '^ /■

Soit maintenant ç (/) une fonction dont la dérivée, par rapport à /•, soit F (/•) ; posons

09 ( r)dxdydz r= U,

et dilTérenllons les deux membres de cette équation par

rapport à a, 6, y J il suffira de différentier sous le signe / ,

si 0 (/■) ne passe pas par l'infini, et Ton trouvera ainsi les formules suivantes :

^L ^- dV ^ rfU

dx rtb ' «Y

Tout dépend donc de la seule intégrale U.

Il est bon de remarquer que si, dans le cas, par exemple,

d'un solide indéfini, l'intégrale U prenait une valeur infinie,

, j, . , • ,, j. • ^ d\} dV> d\}

mais que les dérivées partielles designées par —j--, —Tp-i —7-

fussent finies, les valeurs précédentes de X, Y, Z n'en seraient pas moins exactes. En effet, prenons d'abord une portion finie du solide; les composantes de son attraction auront pour valeurs les produits de — ]). par les dérivées partielles de la fonction finie U. Supposons maintenant que l'on étende indéfiniment la partie considérée du solide, les composantes de l'action seront toujours

dV. <l\ <IV

drL dh rty

que U croisse ou non sans limite. Donc, si ces trois expressions ont des limites, ce sont les composantes de l'allrac-

172! DE l'Équilibre des forces.

lion du solide indéfini. El, si elles croisseni indéfinimenl, on en conclura que l'aUraclion croît sans limite à mesure que Ton considère une plus grande partie du corps; c'est ce que l'on exprime en disant que l'atlraction du solide est infinie.

Ainsi, il suffira toujours de connaître les dérivés qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z, sans s'inquiéter si la fonction U elle-même est finie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini, sans que le solide le fût.

129. Dans le cas où l'atlraction est en raison inverse du carré de la distance,

et faisant, dans ce cas,

on aura

' -^ dx ' -^ di ' • f/v

Si le point attiré fait partie du corps, la fonction ç(r) passe par l'infini; mais ces formules subsistent toujours. En effet, elles noflrent aucune difficulté, si on les applique à tout le corps, moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite, quand celte sphère tend vers zéro; car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires a\ant pour origine le poini attiré, a pour expression /-rf/sinO t/ô d'y, or, si l'on divise par r, et qu'on intègre dans l'étendue de la sphère tlo ravon infiniment polit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. 11 suit de là que la fonction V, étendue au corps entier, est finie, et, par suiic, ses dérivées par rapport aux indiMornii-