CHAPITRE I

nées 2, 6, Y le sont aussi. On voit de même que X, Y, Z ont aussi des limites; d'ailleurs, quand les deux membres d'une équation ont des limites, ces limites sont égales : donc les formules qui donnent X, ^, Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le point fait partie.

130. L'attraction sur le point (a, 6, y)? estimée suivant la direction du rayon vecteur /• mené de l'origine à ce point, a pour expression

r r r ' \dx r db r d-; r J

Mais en considérant U comme fonction de a, 5, y» et ces coordonnées comme fonction de /• et de deux angles 0, '% on a

rfU

dL X

dU 6

dV y

dr ~

" dx r

dy r

en observant que les dérivées partielles de a, 5, y par rapport

a 6 y a /■ sont respectivement -, -> -•

Donc la composante de l'attraction suivant le rayon vecteur est — ;x -77 > les deux autres composantes étant supposées dans le plan perpendiculaire à ce rayon. Dans le cas

f . . dW

de F(r) = ^> cette expression devient ;a/-t7 •

Application à la sphère. — Pour donner une applica-

lion de ces formules dans le cas de F(/') ^= ^, considérons

une sphère creuse pour laquelle p soit une fonction quelconque de la distance au centre. Prenons pour axe des x la droite qui joint le centre O au point attiré P, et qui est évidemment la direction de la résultante des attractions.

1^4 DE l'Équilibre des forces.

Désignons par a et K{fig. i6) les rayons des deux surfaces qui terminent le solide, par u le rayon intérieur d'une couche sphérique ayant pour épaisseur du, et par 0 l'angle

d'un rayon quelconque ON, égal à u, avec l'axe des x. OP. La valeur de V aura pour expression

s;/2r///?inôr/0

L'intégration par rapport à 0 étant effecluée entre o et -, donnera la partie de V correspondante à la couche donl l'épaisseur est du ; en intégrant ensuite le résultat par rapport à u entre les limites a et A, on aura la valeur totale de V. Or on a

/•- =^ M* — 2 5t « CCS 0 -H a- ;

d'où, en observant que u est constant,

rdr — asinO ^0, et, par suite,

Quant aux liiiiitcs de /• correspondantes à 0 = o cl 0 ^= r,

CIUPITRE I\. 175

il faut distinguer le cas où le point attiré est extérieur au solide de celui où il est intérieur.

1° Si le point attiré est extérieur au solide, on aura a>> A. et, par conséquent, a >> w pour toutes les couches que l'on a à considérer. On a alors

/di =z2u et V - — / p «■

Si Ton pose

4':r / fil- du r^ M,

du.

on aura

\ = — et X = — ^- .

L'altraclion est donc la même que si toute ta matière du corps était réunie à son centre.

2" Si le point attiré est dans l'intérieur de la plus petite surface, on a a < a, et, par conséquent, x <i n dans toute l'étendue des valeurs de u. On a donc alors

/ dr - 2 a |et V ^ 4~ / p «

du.

Cette quantité étant indépendante de x, on aura

dy

— r- =: o, et, par suite, X = o. «a

On voit donc que, dans cette même loi d'attraction, le solide n'exercera aucune attraction sur un point situé dans l'intérieur de sa plus petite surface.

On conclut de là que l'action sur un point qui lerail partie du même solide se réduirait à celle qu'exercerait la partie comprise entre la sphère de rayon a et celle qui passerait par le point attiré. Il faudrait donc supposer la

ijfi DE l'Équilibre des forces.

matière qui compose cette partie, réunie au centre, et agissant sur le point, suivant la loi donnée.

S'il s'agit, par exemple, de l'action d'une sphère pleine, homogène, sur un point de son intérieur, situé à une dis-

tance a du centre, on devra prendre M ^= -^ rpa^ : et l'attraction a pour valeur ^ T.p/[j.x. Elle est donc directement proportionnelle à la distance au centre.

ACTION d'une couche ELLIPTIQUE SUR UN POINT INTÉRIEUR.

131. La proposition que nous avons démontrée relativement à l'action d'une couche sphérique sur un point intérieur, peut se démontrer géométriquement dans le cas plus général du solide compris entre deux ellipsoïdes semblables, ayant leurs axes coïncidents.

En effet, supposons d'abord le solide homogène; soit M {Jig- 17) le point attiré. Considérons-le comme sommet

Fig. i?-

d'uno inliiiilé d'angles solides, qui composent loiil l'espace autour do lui, et cherchons la résulliiiitc ai' l'aclion des deux parties comprises dans un quelconque de ces angles et son opposé au sommet. Soit DCAB une des arêtes de ce! angle; on aura AB= CD, par la simililude des deux ("lllpsoïdcs. Si nous dt'sign<^ns par w la mesure île rniii;le solide.