CHAPITRE IX
nous pourrons décomposer le solide AB en éléments dont les épaisseurs PQ formeront la droite AB, et dont l'expression sera (o/-c//-; multipliant par ^~i on aura l'attraction
que cet élément exerce sur le point M; on trouve ainsi p/[j.ii)dr, et la somme p/\)M. AB exprimera l'attraction de la matière contenue dans AB. On trouvera de même p/[j.a). CD pour l'attraction de la matière contenue clans la partie CD; et comme les droites AB et CD sont égales, ces attractions seront égales, et, par conséquent, se détruiront. Donc, comme il en sera ainsi pour tous les angles solides autour de M, le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables quelconques n'exerce aucune attraction sur un point situé dans l' intérieur de sa plus petite surface. Cette proposition, étant indépendante de l'épaisseur, a lieu aussi pour une couche infiniment mince. Donc elle est encore vraie pour un solide d' une épaisseur quelconque, composé de couches homogènes comprises entre des ellipsoïdes semblables, et dont la nature varie d'une manière quelconque de l'une à l'autre
132. Surfaces de niveau. — On appelle ainsi celles sur lesquelles un point matériel posé resterait en équilibre sous linfluence des forces du système.
Considérons donc un corps quelconque qui attire un point suivant une loi quelconque; on aura, d'après ce qui précède,
dx ' a& ' d'f '
pour que la résultante soit perpendiculaire à la surface sur laquelle le point peut se mouvoir, il faut qu'on ait, pour tous les déplacements sur celte surface,
X dx 4- Y (/ê 4- Z d-f : 0, DuH. — Metli. IV. 13
178 DE l'Équilibre des FORrES.
ou
dU , d\] ,,. d\] ^
ce qui prouve que U est constant. L'équation des surfaces de niveau relatives à l'attraction ou à la répulsion du corps, est donc
c désignant une constante arbitraire.
Quand l'attraction est en raison inverse du carré de la distance, cette équation devient V =: c.
133. La fonction jouit d'une propriété remarquable, qui est d'une grande utilité pour la détermination de sa valeur. D'après la valeur de r, on a
dj. ~~ r^ ' rfê '^ /•=> '
dx- ~ /- r^' d^-
r 3(.--Yr
d'où l'on conclut
Mais, puisque l'on a V - : fil '-—y dv étant l'élémcnl
de volume, et que, pour différcntier une inlémMlc par rapport à des (juaiililés considérées comme constantes dans
CIIXPITRE IX. 179
rintégralion, et qui n'entrent pas dans les limites de cette intégrale, il suffit de difTércnticr sous le signe / , on aura
(f'^^ J J .7 àx
d'6- " J J J df^ ' '^'''
pourvu, toutefois, que la fonction - ne devienne infinie
pour aucune valeur comprise dans les limites de l'intégralion ; car on sait que, dans ce cas, la différenliation sous le
signe / peut donner des résultats inexacts.
Donc, si le point (a, 6, y) ne fait pas partie du corps attirant, on aura
£\ d-W d'-y -' dx^ ^ dC^ '^ df ^°'
Si le point fait partie du corps, on concevra une sphère infiniment petite, dans l'intérieur de laquelle il sera compris; la fonction V, considérée pour tout le reste du corps, satisfera à l'équation ci-dessus.
La valeur de p au point attiré sera aussi celle de la petite sphère. Les composantes de l'attraction de la sphère sur ce point, qui est dans son intérieur, seront donc respectivement
i8o DE l'Équilibre des forces.
a, 6, c étant les coordonnées du centre de la petite sphère; on aura donc, en appelant Via partie de V qui se rapporte à cette sphère,
d'où
^V d^\' cT'Y'
— 4itp;
d&'- df
et par conséquent,
^''^ 'd^'^~d¥' df '*''"'
la valeur de p se rapportant au point attiré.
Nous allons montrer, par quel([ues exemples très simples, comment les équations (i) et (2) peuvent servir à déterminer la fonction V dont se déduisent les trois composantes de l'attraction.
134. Application à la sphère. — La sphère étant supposée formée de couches homogènes, \ sera (onction de la distance /■ du centre de la sphère au point attiré; la résultante de Tattraclion sera dirigée suivant la droite qui joint
.d\ ces deux points et représentée par ;x/ -p'
L'éijuation /- = a* -+- 6- - y* donnera
dr X dr 6 dr
dr ^ r* d(j ' r ' d- r
y.'- dV
r- dr'- '
/• dr
- ,- dr'
r' dr-
r dr
r^ dr '
r- dr-
r dr
r' dr'
