CHAPITRE I\. l8l

et l'on aura, par suite,

d-\ dx'

d'-\ df

et, ajoutant ces trois dernières équations, on aura, en supposant d'abord le point hors de la sphère,

d^\ £ (fV dr- r dr

La fonction V dépend donc alors d'une équation qui ne renferme pas de différentielles partielles. En la multipliant

par r-, son premier membre devient la dérivée de r- — 7- • ' dr

On aura donc, en désignant par c une constante arbitraire,

d\c dr /"^

Supposons d'abord que la sphère soit creuse et que le point soit dans Tintérieur de la plus petite surface, dont nous désignerons le rayon par R,. L'attraction devant évidemment être nulle pour /* = o, il faut qu'on ait

et, par suite,

Donc les composantes de l'attraction sont toujours nulles, et le point est en équilibre, quelque position qu'il occupe dans la partie vide de la sphère.

Supposons, en second lieu, que le point fasse partie du

l8a DE L EQUILIBRE DES FORCES.

volume de la sphère, on a

c£\ 2 d\ dr

p étant une fonction donnée de r.

Multipliant par /- et intégrant à partir de R,, il vient,

en observant que -pétant nul pour tous les points de l'intérieur, l'est aussi à la limite R|,

Désignant / ^r.r-^dr par M', on aura

d\^ AT

La valeur absolue de l'attraction sera donc ' 1 ; elle est

la même que si l'on réunissait au centre tous les éléments de matière compris entre les sphères de rayons R, et r.

Si le point attiré est sur la surface extérieure ayant pour rayon R, on aura, en désignant par M la somme relative à tous les éléments de la sphère creuse,

dr ~" ' R-'

et l'attraction exercée sur le point nura pour expression

ir-

Enfin, considérons un jioint cxlérlcnr à la surface, c'està-dire pour lequel on ail r'^- R, on aura, comme dans le j>vcmicr ras,

dr / - '