CHAPITRE X

des formules

a; ^: a -f- /'cos^, y —.&-}- r cosr^, z =- -^ -i- r cosl, l'équation de rellipsoïde deviendra

— ; COS^ H- -7- COSYl H- -^COSg

— ; COS-; -- -— cos^r, ~ ; cos%

Considéranl un angle solide t/w avant son sommet au point M, et calculant l'action de la pyramide comprise dans cet angle, sur la matière de l'unité de volume concentrée au point M, on aura

. fr-chùdr .

/• ayant la valeur ci-dessus pour les valeurs de ç, r, , Z relatives à M//?, et y désignant l'attraction de la matière de l'unité de volume sur une égale quantité, concentrées chacune en un seul point, et placées à une distance égale à l'unité.

En décomposant cette force y/r/w parallèlement aux axes, on aura

frck'i coi\. y/f/oj cosYp frdoi cos^.

Il ne reste plus qu'à faire la somme de ces expressions lorsque le rayon Mm prendra toutes les directions, du côté du plan tangent, 011 se trouve l'ellipsoïde. Or, comme on n'aura que des produits de deux cosinus, les directions contraires donneraient les mêmes valeurs, et on pourra faire les sommes pour toutes les directions autour de M, puis en prendre la moitié.

Le numérateur de chacune des composantes à intégrer renfermera trois termes, dont l'un contiendra le carré d'un cosinus, et les deux autres des produits de cosinus diflé-

i88 DE l'éoiii-ibre des forces.

renls; quant au dénominateur, il ne contient que des carrés de cosinus. Il est donc facile de voir que les éléments des sommes qui ne correspondent pas aux termes renfermant les carrés se détruisent deux à deux ; de sorte que les composantes X, Y, Z de l'action totale de rellipsoïdc sur le ])oint M ont pour expressions, en représentant le dénominateur commun par/j»,

/ê '^ ces- Y, f/to

Pour effectuer ces calculs, il faudrait d'abord exprimer un des trois cosinus au moven des deux autres; mais alors la symétrie qui avait eu lieu jusque-là disparaîtrait; il sera préférable d'employer les deux angles que l'on choisit ordinairement, et il suffira de remplacer cos;, cost), cos^ par les valeurs suivantes :

cos^r:r7 cosO, coS"^ - sin 0 cos'i/, cos Ç :^ sin 8 sin •]/,

0 désignant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des .r, et -i l'angle que sa projection sur^'^ fait avec l'axe dcs^'.

Nous calculerons d'abord la valeur de X ; celles de Y cl de Z s'en déduiront par de simples changements de lettres.

Dans ce nouveau système de variables, l'élément (/lo de la surface sphérique de rayon t aura l'oxpn^ssion suivante :

dui = si n 0^/0 <:/•},

et I «>n aura

—, cos*0 -\- -7- sin-0 cos-'i -\ sin'O sin* ,!/

rr h- ' c*