CHAPITRE X

Linlégrale par rapport à -} devra être prise entre o et 27:; et ensuite celle de 0, entre o cl r. Mais il est évident, d'après la forme de l'expression, qu'il suffira d'intégrer par rapport

à <b entre o et -j puis de quadrupler le résultat; et qu'ensuite on pourra se borner à considérer les valeurs de 0 de o à -5 puis à doubler le résultat. La première intégration n'offre aucune difficulté : on posera

d'où

• 7 = 3 j ces- 'h rr , d'\> --^ ,

et l'on aura

I —La-b-c-

dv

a -'- b-cosH) — Z?*(a*sin«6 4- c'cos^O)^-

2 y/ ( a^ sin^ 0 -- b^ cos- fi) {a- sin^ 0 — c- cos^ 0 )

Multipliant, comme nous l'avons dit, par 4j puis par 2, on aura

X = — 4T:/6ca /

•^n v/(a-sin

ros^O sinOf/0

0 V^(a- sin-6 - b- cos-Ô) (a^ siii-ô -- c^ cos*0)

Si, pour calculer Y, on prenait un système de coordonnées polaires analogues, où 0 désignerait l'angle du rayon vecteur avec l'axe des y, et -j^ l'angle que fait avec l'axe des :; sa projection sur xz, l'expression de Y ne différerait de celle de X que par le changement de a en 6 et des lettres a,

6, c les unes dans les aulres par le procédé ordinaire de rotation.

On trouvera ainsi

cos' Osin Of/0

(6-sin-O r- c- cos-0) (^6- .= in*0 -a^cos^O) el de même

Z= — [^Tzfab^; j

cos-0 sin Oi'/O

g y/(c^ sin-0 - a- ces- 9) (c- sin*0 -t- b- cos-0)

Pour donner une forme plus simple à ces trois expressions, nous poserons cosO = n '. d'où résultera

X — 4tt/—

et, quelles que soient les grandeurs relatives de </, 6, c, les facteurs sous les radicaux seront positifs, el les intégrations n'offriront aucune circonstance particulière, dans les limites où elles doivent cire elfectuées; mais on ne pourra obtenir leurs valeurs sous une forme finie, ù moins que deux des trois axes de l'ellipsoïde ne soient égaux, auquel cas cela dcîvicnt très facile, comme nous allons le voir.