DIGRESSION SLR UNE TRANSFORMATION DE LIEUX GÉOMÉTRIQUES

140. La méthode du changement de variables est dune Jurande utilité, soit dans la science des nombres, soit dans ses applications à la Géométrie. Dans ces dernières, on a le plus souvent pour objet de déterminer les mêmes lieux par des variables différentes; mais quelquefois aussi on cliange la l'orme des lieux, ou la position des points, et Newton en a donné le premier un remarquable exemple.

Le changement de variables dont nous allons parler est de ce genre. Les coordonnées d'un point étant données, les nouvelles variables correspondantes sont, non les coordonnées du même point par rapport à d'autres axes, mais celles d'un point différent par rapport à d'autres axes; et la liaison de ces \ariablcs consiste en ce que les rapports des coordonnées parallèles au même axe sont constants, mais différents pour les trois axes. On donne particulièrement le nom de points correspondants aux deux points quelcoïKjufs qui sont ainsi déterminés l'un par l'autre.

Tout point peut être considéré comme appartenant au premier système, et l'on obtiendra le correspondant en multipliant les coordonnées du premier pai'les rapports donnés. Réciproquement, on obtiendrait les coordonnées du premier en divisant par ces mêmes rapports celles du correspondant dans le second système. Il laudra donc, lorsqu'on voudra trouver le correspondant dun point, indiquer avec soin de (juel svstème il fait partie et ne pas confondre les deux rapports inverses.

DcH. — Meth. IV. 1.3

194 i>E l'Équilibre des forces.

Nous allons traiter (juclques questions simples, relatives à ce mode de transformation, et qui nous seront utiles dans la théorie de lattraclion.

1 il. Equation de la su i face corrcspondante^c/w/ics///face donnée.

Soient F(ar, j)', ^) = o l'équation d'une surface; /«, n, p les nombres constants par lesquels il faut multiplier l'.r, 1')et le :: d'un quelconque de ses points pour obtenir les coordonnées X, Y, Z du point correspondant, on aura

\^inx, Y = « 1", 'L.=-})z\

d'où résultera entre X, Y, Z l'équation

\ m II i> )

qui sera celle de la surface correspondante de la première.

Si m = n =y^, les deux surfaces seront semblables.

On ^oit que le degré de ces deux équations est le même. D'oîi il suit que la surface correspondante d'un plan est un plan, mais non parallèle en général. SI le premier csl parallèle à l'un des plans coordonnés, le second le sera aussi. S'il est parallèle à l'un des axes, l'autre le sera au même axe. Si la surface proposée est un ellipsoïde rajiporlé à ses axes, la correspondante sera aussi un ellipsoïde rapporté à ses axes coïncidant en direction avec les premiers. Il en sera de même si la première surface csl un byperboloïde à une ou à deux nappes. Si, jiar exemple, on part de relli|isoïde

la >urla(C corrcspondiintc aur.i |)(iiir t(pi.ilu)n

/;*-(/' n- o' /fc^

CflAPITRE XI. H)5

ce qui peut représenter un ellipsoïde quelcoiupie, en donnant à m, n, p des valeurs convenables, c|.ui seront toujours les rapports des axes correspondants des deux surfaces.

Cette même équation représentera tous les ellipsoïdes liomofocaux au premier si l'on prend