III- a- — a- r=z II- b- — b- r= p-c'- — c

ce qui détermine deux des quantités m, n,p en fonction de la troisième, qui reste arbitraire.

Les correspondantes de deux surfaces semblables sont semblables. — Soient, en effet, les deux, surfaces semblables

F( r,)-, z) =o, V{kx, ky, kz)=:o,

les équations correspondantes seront

Ces surfaces sont donc semblables.

Lignes correspondantes. — Les lignes étant données par les équations de deux surfaces qui les contiennent, on fera, pour chacune de ces équations, ce que nous venons de faire j>our une seule.

Il est important de remarquer que le lieu correspondant d'une ligne droite est une ligne droite, non parallèle en général; car les deux surfaces sont des plans, et leurs correspondantes en seront par conséquent aussi.

Si la droite donnée est parallèle à l'un des plans ou des axes coordonnés, il en sera de même de la correspondante.

l-i2. Rapport des longueurs de deux droites corresfiondanles parallèles à l'un des axes.

Si les points extrêmes de deux droites parallèles à un même axe sont correspondants, les longueurs de ces droites seront dans le rapport constant des coordonnées correspondantes, parallèles à cet axe. Car ces longueurs sont

196 DE L'ÉQUILIBRt: DES FORCES.

des (lifTcrcnces de quantités qui sont dans ce rapport. Mais si la première droite n'était pas parallèle à un des axes, la seconde ne serait pas parallèle à la première, comme nous l'avons déjà dit, et le rapport de leurs longueurs ne serait pas constant si /??, n. p n'étaient pas égaux.

143. Rapport de deux surf aces planes cm respondantes. parallèles à l'un des plans coordonnés. — Ces deux surlaces, terminées par des courbes quelconques correspondantes, et parallèles au plan \'L par exeni|)l(', peuvent être partagées par des droites correspondantes, parallèles à Taxe des z, et à des distances infiniment petites. Les longueurs des cordes correspondantes seront dans le rapport p\ les distances de deux cordes consécutives et de leurs correspondantes seront dans le rapport /? ; le rapport des éléments correspondants sera donc np\ il en sera donc de même de leurs sommes et de leurs limites. Les deux aires sont donc dans le rapport np.

144. Rapport de deux volumes terminés par des sur faces correspondantes. — On décomposera ces volume» j)ar des plans correspondants infiniment voisins, perpendiculaires à un des axes, celui des x par exemple. Les distances correspondantes de deux plans consécutifs seront dans le rap|)()rt m. Les sections des volumes par les plans correspondants seront, comme nous venons de le démontrer, dans le rapport np. Les éléments de volume compris entre les plans consécutifs sont donc dans le rapport mn</: et, par conséfpient, le premier volume <'«•! un <eeoiid dan» le rapport mnj>.

1 i5. Le produit des x de dfu.f potiils naii ro/ / ( wpondants considérés respectii'cment dans les deux st sternes est égal au /traduit des x des points ifui Iriir sont respri

ni.vpiTnr: xi. 197

lii'ement correspondants ; et de même pour les y et les z.

Soient, en efTet, a;, >', z et X', Y', Z' les coordonnées des deux premiers poinls m. M'; X, Y, Z celles du point M qui, dans le second système, est le correspondant de m; el x' , y' y z' celles de m' du jiremier système, correspondant de M' du second, on aura évidemment a:X'= X,r', puisque X'== mx' c\ X = mx.

Va ion verrait de même que l'on aura

On peut encore déduire de là une autre proposition utile. En cfTet, si Ton désigne par /•, R les distances de deux points correspondants, à l'origine; par /•', R', les analogues pour deux autres, on aura

/■R'cos/-R'=a:X'-^7Y' + -Z', /•'R cos r'R = o^'X H- r' Y -^ :;'Z ; d Où

/•R'cos/R'=/'Rcos/'R.

I i(). J^a différence des carrés des dislances dit centre à deux points correspondants de deux ellipsoïdes homofocaux est constante.

Soient les équations de ces deux ellipsoïdes

ils constituent nécessairement deux surfaces correspondantes, comme nous l'avons démontré pour deux ellipsoïdes quelconques, les rapports des coordonnées des points correspondants étant ceux des axes parallèles. Ces ellipsoïdes étant horaofocaux, on a

(^ela posé, la dilTerence des carrés des dislances de deux

igS DE l'équilibre des forces.

points (.r,^', z), (X, Y, Z) au centre sera