CHAPITRE XII

\TTRACTION D UN ELLIPSOÏDE SUR UN rOLNT EXTÉRIEUR.

148. Nous avons calculé précédemment Taction d'nn ellipsoïde plein, homogène, sur un point quelconque de son intérieur ou de sa surface. II. reste à calculer celle ([uil exerce sur un point extérieur; question beaucoup plus difficile, et qui a assez longtemps arrêté les géomètres. Leurs efforts tendaient à ramener ce cas au premier. Maclaurin la tenté le premier et n'a pas complètement réussi; d'autres géomètres y sont parvenus après lui, mais si péniblement, qu'on avait continué les recherches sur ce point important. EnGn, Ivory est parvenu à découvrir un théorème remar- (juable par sa simplicité, et qui ramène presque sans travai la seconde question à la première. Elle est fondée sur les propriétés des points correspondants, et c'est pour cela que nous avons exposé cette théorie avec quelque détail.

149. Théorème d'hory. — Ce théorème ramène l'action d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur quelconque à celle qu'exercerait un ellipsoïde homofocal passant par ce point, sur le correspondant de ce point sur la surface de l'ellipsoïde donné : question dont on connaissait la solution, que nous avons précédemment exposée.

Soient a, 6, •; les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A, B, C; la composante X de son attraction sur ce point sera

( X — a ) djc dv dz

200 DE l'équi-ibre des korces,

les intégrales s'étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x, et désignant par /',, r-, les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de l'ellipsoïde, dans lequel on a fait l'intégralion, on trouvera

Concevons maintenant un ellipsoïde homofocal avec le premier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le !point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle dj' dz\ dont les points seront les correspondants do ceux de dy dz, et nous intégrerons dans l'étendue du filel du second ellipsoïde, qui se projette suivant dy' dz' sur le plan YZ. Nous trouverons, pour la composante de l'attraction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné,

Les ravons /•, et /o sont les mêmes que pour le premier ellipsoïde, puisque leurs extrémités sont respectivement correspondantes de celles des autres.

Or, dy' dz' '. dydz '.'. B'C : BC; el cette proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques, aura lieu pour les intégral»*» elles-mêmes; d'où résulte

\ :\ :: iu::B'C',

et de même

On peu! (lonr l'iiniirii- le I lu'ui rmi» suivant, qui csl celui d'Ivorv :