MÉTHODE ANALYTIQUE POUR LA DÉMONSTRATIOIÎ DES THÉORÈMES
25. Lorsque Ton aura à trouver la démonstration d'une proposition énoncée, on cherchera d'abord si elle peut se déduire comme conséquence nécessaire de propositions admises, auquel cas elle devra être admise elle-même, et sera par conséquent démontrée. Si l'on n'aperçoit pas de quelles propositions connues elle pourrait être déduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourrait
DE l'analyse. 4i
Têtre, et alors la question sera ramenée à démontrer la vérité de cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de propositions admises, elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée : sinon, on cliercliera de quelle proposition non encore admise elle pourrait être déduite, et la question sera ramenée à démontrer la vérité de cette dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que Ton parvienne à une proposition reconnue vraie-, et alors la vérité de la proposée sera démontrée.
On voit donc que cette méthode, que l'on appelle analyse, consiste à établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut démontrer, finissant à une proposition connue, et telles qu'en partant de la première chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit-, d'où il résulte que la première est une conséquence de la dernière, et par conséquent vraie comme elle.
L'analyse n'est donc autre chose qu'une méthode de réduction.
Mais parmi les diverses propositions dont la première pourrait être déduite, laquelle faudra-t-il choisir? Même question pour chacune de celles qui composent cette cliaîne. On ne peut rien dire de précis à cet égard : la suite des propositions peut être prolongée indéfiniment sans qu'on parvienne à une proposition connue, comme il est possible aussi qu'on y parvienne promptement : cela dépend de la sagacité et de l'étendue des connaissances de celui qui cherche la démonstration-, et s'il a réussi à la découvrir, il pourra la communiquer aux autres en leur indiquant la série de propositions qui l'y ont fait parvenir.
CAS ou LA DÉPEJNDANCE DES PROPOSITIONS SUCCESSIVES PEUT ETRE RENVERSÉE.
26. Si deux des propositions successives dont nous venons de parler étaient réciproques, on pourrait considérer
la seconde comme déduite de la première, au lieu de la considérer comme ayant la première pour conséquence. Et si cette réciprocité a lieu depuis la première jusqu'à la dernière, on peut dire que la méthode analytique consiste à établir une suite de propositions dont la première soit celle qui est à démontrer, et telles que la seconde se déduise de la première, la troisième de la seconde, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à une proposition reconnue vraie.
Et l'on voit même que la réciprocité n'est nécessaire que pour les propositions consécutives où la déduction a été renversée ; elle ne l'est nullement pour celles où l'ordre de déduction est celui que nous avons prescrit en exposant la méthode analytique. Sous ces conditions, le second procédé n'est autre que le premier.
27. Remarque. — Il est souvent plus commode de déduire une conséquence d'une proposition que d'en trouver une autre dont celle-ci serait la conséquence. Dans ce cas, on pourra employer la seconde manière de procéder pour toutes les propositions successives, ou pour quelques-unes seulement, en ayant soin de s'assurer de la réciprocité, car si elle n'avait pas lieu, ne fut-ce que pour deux consécutives seulement, la seconde de ces deux pourrait être vraie sans que la première le fût, puisque le vrai peut quelquefois se déduire du faux. Il ne suffirait donc pas que la suite des propositions se terminât par une qui fût reconnue vraie pour que toutes les précédentes, jusqu'à la première, le fussent elles-mêmes; il n'y aurait donc pas démonstration.
