DE L'ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS

50. Après avoir exposé avec détail la manière dont nous entendons ces méthodes, il est utile de faire connaître exactement ce qu'elles ont été avant nous.

On trouve dans le treizième livre des Eléments d'Euclide les définitions suivantes de l'analyse et de la synthèse.

« Qu'est-ce que l'analyse et qu'est-ce que la syntlièse ?

» L'analyse est l'admission de la chose cherchée comme accordée, pour en déduire des conséquences qui conduiseni à quelque vérité accordée.

y) La synthèse au contraire consiste à partir de choses accordées, et à en déduire des conséquences qui conduisent à la connaissance de la chose cherchée. »

51 . Pour donner une idée plus complète de la manière dont les anciens entendaient ces deux méthodes, nous citerons le passage suivant, qui commence le septième livre des Collections mathématiques de Pappus d'Alexandrie, traduites en latin par Halley :

« Locus de resolutione inscriptus, Hermodore fili, ut » paucis dicam, propria qusedam est materia in eorum » usum designata, qui perceptis communibus démentis, in » Geometrià facultatem sibi comparare desiderant investi- » gandi solutiones propositorum problematum ; et in hune )) finem solummodo utilis.Traditur autem à tribus viris, Eu-

DE l'analyse et DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS. 63

» clide iiempè Elementorum scriptore, ApollonioPergseo et )) Arislœo seniore. Procedit vero per modum resolutionis et » compositionis. Resolutio autem est metliodus quâ à quae- » sito quasi jam concesso, per ea quse deindè consequuntur » ad conclusionem aliquam, cujus ope compositio fiât, per- » ducamur. In resolutione enim, quod quaeritur ut jam fac- » tuDa supponentes, ex quo antécédente hoc consequatur )) expendimus; iterùmque quodnam fuerit ejus antecedensi )) atque ita deinceps, usque duna in hune modum regre- )) dientes, in aliquid jam cognitum, locoque principii ha- )) bitum, incidamus. Atque hic processus analjsis vocatur, » quasi dicas, im^ersa solutio. E contrario autem in com- » positione, cognitum illud, in resolutione ultimo loco ac- » quisitum, ut jam factum prsemittentes ^ et quœ ibi con- » sequentia erant, hic ut antecedentia naturali ordine )) disponentes, atque inter se conferentes, tandem ad con- » structionem quœsiti pervenimus. Hoc autem vocamus )) sjntliesin.

» Duplex autem est analyseos genus : vel enim est veri » indâgatrix, diciturque iheoretica; vel propositi investi » gatrix, ac problematica vocatur.

» In theoretico autem génère, quod quaîritur reverà ita )) se habere supponentes, ac deindè per ea quae conse- )) quuntur, quasi vera sint (ut sunt ex hypothesi) argu- )> mentantes, ad evidentem aliquam propositionem proce- » dimus. Jam si conclusio ista vera sit, vera quoque est » propositio de quâ quaeritur \ ac demonstratio reciprocè » respondet analysi. Si vero in falsam conclusionem inci- » damus, falsum quoque erit de quo quaeritur.

» In problematico vero génère, quod proponitur ut jam » cognitum sistentes , per ea quae exindè consequuntur, » tanquam vera, perducimur ad conclusionem aliquam \ » quod si conclusio ista possibilis sit, ac TTOpKJTrj, quod ma- » thematici datum appellant, possibile quoque erit quod

» proponitur, et hic quoque demonstratio reciprocè res- » pondebit analysi. Si verô incidamus in conclusionem im- » possibilem, erit etiam problema iinpossibile. Diorismus » autem, sive determinatio, est quà discernitur quibus con- )) ditionibus quoique modis problema effici possit.

)) Alque hsec de resolutione et couipositione dicta

)) sunto. »

52. Ce remarquable passage de Pappus peut être traduit de la manière suivante :

)) Le lieu appelé c&vct?\vojUîvoç^ 6 mon fils Hermodore, est, pour parler sommairement, une certaine matière qui vient après l'établissement des éléments ordinaires, et est destinée à ceux qui veulent acquérir de la force pour découvrir la solution des problèmes de Géométrie qui peuvent leur être proposés j c'est dans ce but unique qu'elle a été créée. Trois géomètres ont écrit sur ce sujet : Euclide, l'auteur des Eléments, Apollonius de Perge, et le vieux Aristée. On y procède par analyse et i^div synthèse ,

» L'analyse est la route qui part de ce qu'on cherche, comme si c'était accordé, et conduit, par les conséquences qu'on en tire, à quelque chose qui soit réellement accordé.

» Dans l'analyse, supposant faite la chose demandée, nous cherchons de quelle autre elle se déduirait, et de même de laquelle se déduirait cette dernière, jusqu'à ce que par cette marche rétrograde nous rencontrions quelque chose de connu ou rangé parmi les principes. Et nous donnons à cette marche le nom à' analyse (résolution), comme pour dire solution en sens inverse.

» Dans la synthèse, au contraire, admettant comme faite la dernière chose à laquelle l'analyse avait conduit, et disposant suivant l'ordre naturel les choses qui se précéderont ici, et qui se suivaient au contraire dans l'analyse, on parvient enfin à la construction.

DE l'analyse et DE LA SYNTHÈSE CHEZ LES ANCIENS. 65

)) Il y a deux genres d'analyse : l'un a pour objet la démonstration de la vérité, et se nomme théorétique ; l'autre, l'exécution d'une chose proposée, et se nomme problématique.

)) Dans le genre théorétique , supposant vraie la chose en question, et regardant comme vraies les conséquences qui s'en déduisent, comme elles le sont en effet d'après l'hypothèse, nous avançons jusqu'à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l'analyse-, mais si nous sommes parvenus à une chose reconnue fausse, la proposée sera fausse elle-même. Dans le genre problématique , nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tâchons de parvenir à quelque chose qui soit connu. Si cette chose est possible et exécutable, ce que les géomètres appellent donnée, la proposée le sera aussi, et la démonstration s'en fera en sens inverse de l'analyse-, mais si la chose à laquelle nous sommes parvenus est reconnue impossible, le problème sera impossible luimême. La détermination est la discussion qui apprend quand, comment, et de combien de manières le problème est possible.

» C'est là ce que nous avions à dire sur l'analyse et la synthèse. ))

Ucn. — Méth, I.