OBSERVATIONS SUR L'ANALYSE DES ANCIENS

DE LA MÉTHODE ANALYTIQUE d'APUÈS EUCLIDE.

53. D'après la délînition qu'Euclide donne de l'analyse, on doit comprendre qu'il regarde une proposition comme démontrée lorsque l'on est parvenu à en déduire comme conséquence nécessaire une proposition reconnue vraie. Les exemples qu'il présente pour la faire comprendre confirment entièrement cette opinion ; car, lorsqu'en partant de la proposition à démontrer il parvient par des déductions exactes à une vérité connue, il se borne à dire : Oz' cela est; et il s'arrête sans prendre la peine de conclure. Il regarde donc comme évident que, dès qu'il est arrivé à quelque conséquence vraie, la proposition d'où il est parti l'est aussi. S'il en est ainsi, sa méthode est défectueuse, puisque nous avons établi que des propositions fausses pouvaient conduire à des conséquences vraies. Il faut qu'il ait ignoré qu'Aristote avait mis cela hors de doute.

DE LA MÉTHODE ANALYTIQUE d'apRÈS PAPPUS.

54. Pappus commence par définir l'analyse comme Euclide, puisqu'il dit que c'est « la route qui part de ce qu'on cherche comme si c'était accordé^ et conduit, par les conséquences qu'on en tire, à quelque chose qui soit réelle-

OBSERVATIONS SUR l' ANALYSE DES ANCIENS. Ôj

ment accojdé. » Mais ce qui suit porterait à croire qu'il l'entend autrement. Il continue en eiï'et en ces termes :

« Dans l'analyse, supposant faite la chose demandée, nous cherchons de quelle autre elle se déduirait, et de même de laquelle se déduirait cette dernière, etc. »

Dans ce passage, la méthode est bien présentée. Lequel des deux exprime la vraie pensée de Pappus ? Ce sont les développements qui suivent qui pourront conduire à se faire une opinion à cet égard. Examinons d'abord ce qu'il dit de l'analyse théorétique qui a pour objet la démonstration de la vérité.

« Dans le genre théorétique, dit-il , supposant uraie la chose en question, et regardant comme "vraies les choses qui s'en déduisent, nous avançons jusqu à ce que nous parvenions à quelque chose de connu. Si cette chose est vraie, la proposée le sera aussi, et la démonstration se fera en sens inverse de l' analyse; mais si nous sommes parvenus à une chose reconnue fausse, la proposition sera fausse elle-même. »

Ici il n'y a plus de doute, la méthode est la même que celle d'Euclide, et par conséquent défectueuse. Mais il est à remarquer qu'il ne regarde pas la démonstration comme laite par l'analyse, quoiqu'il dise que la proposition d'où l'on part est vraie si elle a conduit à quelque chose de vrai^ il exige que la démonstration se fasse synthétiquement en partant de la proposition vraie où s'arrête l'analyse. Ce double procédé empêchera l'erreur^ mais la première partie serait insuffisante, et il ne s'en est pas aperçu, ^u contraire, V analyse telle que nous l'avons présentée ci -dessus se suffit à elle-même, et n'a pas besoin d'être suivie de la démonstration synthétique. Et l'insuffisance de sa première partie est telle, qu'en partant de la dernière proposition, reconnue vraie, il n'en déduira jamais la proposée si les propositions successives ne sont pas toutes réciproques

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les unes des autres; circonstance fortuite, et dont il ne fait pas mention.

55. Passons maintenant à la résolution des problèmes. « Dans le genre problématique, dit Pappus, nous regardons comme exécuté ce qui est proposé, et, en suivant les conséquences qui en résultent, nous tàclions de parvenir à quelque chose qui soit connu — Si cette cliose est exécutable, la proposée le sera aussi. »

Pappus suppose donc que, si le dernier problème est résolu, le premier le sera. Or nous avons prouvé qu'il n'en était pas toujours ainsi : la méthode de Pappus est donc encore imparfaite pour la résolution des problèmes. Mais les solutions étrangères qu'elle peut introduire, et dont il ne lait pas mention, se reconnaîtraient en suivant, comme il le prescrit ensuite, la marche synthétique qui conduit du dernier problème au proposé. Néanmoins, au point de vue de la complète rigueur et de la dignité de la science, nous ne pouvions nous dispenser de signaler cette imperfection.

56. Il y a encore un autre reproche à faire aux anciens géomètres qui ont employé l'analyse dans la résolution des problèmes. Lorsque, partant du problème supposé résolu, ils arrivent par une suite de déductions à un problème connu, ils ne se contentent pas toujours de démontrer synthétiquement que les solutions de ce dernier satisfont au premier : ce qui est nécessaire, comme nous l'avons montré, puisque leur procédé peut en introduire d'étrangères 5 mais ils se croient encore obligés de démontrer qu'il n'en existe pas d'autres. Or cela est inutile, puisque nous avons établi que ce procédé de déduction pouvait bien introduire des solutions étrangères, mais qu'il ne pouvait en faire perdre. Cela ferait croire qu'ils ne comprenaient pas bien nettement la valeur de leur méthode.