OBJET ET DONNÉES

M. Les surfaces, dont la forme peut varier à l'infini, offrent aussi un cas particulier très-remarquable, qui est en quelque sorte pour les surfaces ce que la droile est pour les lignes ; e'est ce qu'on nomme le plan.

On le définit ordinairement : une surface telle, que si on fait passer une droite par deux quelconques de ses points, cette droite, indéfinie est entièrement comprise dans la

Cette définition, outre qu'elle ne donne pas une idée bien nette de la forme de cette surface, a l' inconvénient d'exprimer un nombre indéfini de conditions peut-Être incompatibles. Existe-t-il une surface sur laquelle une droilc puisse s'appliquer indéfiniment, quels que soient les deux points qu'on ait clioisis pour la déterminer? Cette infinité de conditions imposées à cette surface la rend-elle impossible? Son existence est-elle une vérité première, qu'on doive admettre comme évidente, comme un axiome?

Nous ne partageons pas à cet égard le sentiment commun, et nous pensons que l'admission de celte surface peut être ramenée à quelque cliose de plus évident et de moins hypothétique que le simple énoncé de celte définition.

Concevons en eflet une ligue droite quelconque, et on un de ses points élevons une perpendiculaire. Supposons que cette seconde ligne prenne d'une manière continue toutes les positions possibles en passant toujours par le même point et restant perpendiculaire à la première. 11 est certainement plus facile de se représenter la surface lieu de toutes ces perpendiculaires, ou, par une image empruntée au mouvement, la surface engendrée par une druitc perpendiculaire à la première et tournant autour d'elle en passant toujours par un même de ses points, que d'admettre

passe par deux quelconques de ses points y soit comprise tout entière. Or on peut facilement s'assurer que le lieu

DES SCIEHCE5 MATHÉMATÏQU ES PL KES. l3

dont u'oils venons d'indiquer la génération, jouira de celle

Remarquons d'abord l'identité de forme de la surface considérée de ses deux côtés. Si en effet on la retourne ut (ju'on fasse coïncider chacune dos directions de la première droite transportée avec elle, avec la direction opposée h partir du point fixe, elle coïncidera avec sa première position, puisqu'elles seront Tune et l'autre le lieu des perpendiculaires à une môme droite par le môme point.

Il esl de plus évident que cette surface coïncidera toujours avec elle-même si on la déplace de manière que tes perpendiculaires qui l'ont engendrée restent perpendiculaires à Taxe fixe.

Cela posé, considérons deux points quelconques sur cette surface; faisons passer par ces points une ligne droite iudélinïe, et suivons-la à partir d'un de ces deux points eu marchant vers l'autre. Comme par sa définition elle est semblable de tous les côtés, et que le plan n'ollrc lui-même aucune dissemblance entre ses deux faces, de quel côté de la surface peut-on concevoir que passe d'abord la droite? Et elle ne peut passer des deux côtés à la fois, parce qu'alors, quand ou serait arrivé au second point donne, on aurait deux lignes droites passant par les deux mêmes points, ce qui est admis impossible.

Comment donc n'admettrait- on pas comme évident qu'entre ces deux points la droite esl toul entière dans la surface? Et l'on admettra aussi qu'elle n'en peut sortir au delà ; car, par les raisons déjà données, si elle passait d'un côté, ou serait fondé h admettre quelle passe de l'autre, et l'on aurait encore deux droites différentes qui auraient deux points communs; ce qui est contraire à la défi- Toutes ces idées et (-es propositions sont nettement indiquées, et leur admission ne semble pouvoir être l'objet

Iff OBJET ET DONNÉES

d'aucune difficulté; tandis que l'idée du plan tel qu'on le définissait est très-confuse, et renferme tant de conditions, qu'on ne voit nullement quelles soient compatibles.

Le lieu dont nous venons d'indiquer la génération, et dont l'existence est incontestable, jouit donc de la propriété que si l'on joint deux quelconques de ses points par une droite indéfinie, celte droite aura tous ses points sur la surface.

Et de In résulte comme conséquence nécessaire que toute droite indéfinie qui passe par un point qui n'appartient pas à ce lieu ne peut avoir qu'un seul point commun avec lui; car si elle en avait deux, tous ses points devraient y être, ce qui serait roiilivnnî à l'hypothèse.

Cette remarque fait voir bien clairement que le lieu en question n'est nullement un corps solide; car une droite menée par un point extérieur à un corps peut, eu le pénétrant, avoir avec lui un nombre indéfini de points communs. Ce lieu ne peut donc Être rangé que parmi les surfaces, comme cela paraissait d'ailleurs bien évident.

15. La propriété remarquable que nous venou» de déduire de la génération de cette surface est-elle réciproque? c'est-à-dire toute surface telle, que si l'on en joint deux points par une droite, cette droite eoit tout entière dans cette surface, est-elle le lieu des perpendiculaire» à une droite, menées par un de ces points?

Pont' résoudre cette question, dont ou sentira bientôt l'importance, concevons deux surfaces quelconques jouissant delà propriété supposée, et dans l'une d'elles prenons arbitrairement trois point» non en liguu droite. Transportons celle surface de manière que l'un de ces trois points se trouve placé sur l'autre; puis, sans déranger ce premier point, faisons tourner la surface transportée de manière qu'un des deux autres points arrive à se trouver dans celle

points à la place qu'ils occupent, ce qui évidemment ne lise pas la position du la surface que nous déplaçons, faisons encore mouvoir celle dernière de manière que le troisième poinl ic trouve dans l'autre. Il est facile de démontrer qu'alors Ions les points des deux surfaces coïncident.

On voit d'abord que les trois droites qui joignent ces trois points deux à deux sont dans les deux surfaces; du sorte qu'au lieu de prendre trois points dans l'une, on eût pu indifféremment prendre deux de ces droites, ou même toutes les trois.

Considérons maintenant un point quelconque sur l'une des surfaces indéfinies, et prouvons qu'il est aussi sur

Pour cela, menons par ce point une droite indéfinie dans les deux sens, qui passe par tin autre point quelconque do la même surface, pris dans l'intérieur du triangle déterminé par les trois droites. Celte nouvelle droite rencontrera nécessairement deux de ces dernières; car il est évident que prolongée indéfiniment dans les deux directions à partir du point intérieur, elle sortira des deux côtés hors de la partie de la surface occupée par le triangle, el rencontrera son contour en deux points. Et ceux qui éprouveraient quelque difficulté à cet égard, en éprouveraient bien davantage à l'admission de la définition ci-dessus mentionnée. Ces deux points do rencontre seront dans les deux surfaces, puisqu'elles renferment les deux droites rencontrées : la nouvelle droite sera donc aussi tout entière dans ces deux surfaces, et, par conséquent, le point par lequel nous l'avons menée y sera aussi. Tout point de l'une des surfaces étant snr rature, les deux surfaces coïncident.

Il est donc démontré que si deux surfaces jouissent chacune de la propriété de renfermer tous les points de la

ifi objet et do.vn£es

droite menée par doux quelconques de leurs points, elle* peuvent coïncider complètement eu transportant l'une d'elles de manière que trois points non en ligne droite, pris arbitrairement sur elle, viennent s'appliquer sur l'autre, n'importe dans quelle partie. Et, comme on peut prendra pour seconde surface la première que l'on déplacerait, il s'ensuit que celle-ci jicut cire rcloui liée et glisser sur elle-

points, non ru ligne droite, restent toujours sur la première immobile. Cette surface est donc partout identique, ri des deux nni-i; elle est cioiic parmi toute.- les surface» ce que la droite est parmi les ligues.

La surface lieu di» jn-rpeutîînilaîrcs en un même puini d'une droite, jouissant de la propriété que toute droite qui joint deux de ses points y est tout entière, coïncidera donc avec elle-même de quelque manière qu'on la fasse glisser, pourvu que trais de ses points, non en ligue droite, restent . toujours dans sa première situation. On peut donc la regarder comme le lieu des perpendiculaires en mi même point d'une droite, menée par un quelconque de ses points.

Cette surface unique, identique à elle-même dans toutes ses parties et d'un coté quelconque, peut être définie par la

démonstrations précédentes, par la propriété réciproque que nous en avons déduite; nous lui donnerons le nom

10. La notion du plan étant admise, nous pourrons définir l'addition des angles, dont nous avons défini l'égalité. Pour ajouter deux angles, nous plaçons sur un même plan les deux systèmes de lignes qui [es forment, de manière que les points où leurs cotés se reneon lient, on leurs soinmets, coïncident; nous plaçons l'une sur l'autre deux des lignes qui les forment, de telle manière que les deux autres

On i :-.'J L'y C

lignes soient

de côtés différents d<

; la ligne commune; cela

fait, ces deui

; dernières lignes, qu

elle que soil leur position

relative, sor

,1 dites faire enlre

elles un angle égal à la

somme des d

mployant un langage qui

.sera dans la

dos côtés ext

rèmes ost n l.i '<i

mme des deux autres. On

peut ajouter

,inii«ut»td'.ii s la

que l'on voudra, en tour-

nain toujou;

:s dans le même sen

s. Le dernier côté pourra

dépasser le prolongement du premier; il pourra revenir dans la direction de ce premier côté, et môme, par l' addition continuée de nouveaux angles dans le môme sens, repasser un nombre quelconque de fois par cette première direction ; de sorte que l'on pourra avoir une somme d'angles, ou, comme nous l'avons dit, un angle indéfiniment croissant.

17, Si par le sommet d'un angle on mine, entre ses deux côtés et dans le plan qui les contient, tant de droites qu'on voudra, ces droites consécutives formeront des angles dont l'angle proposé sera la somme, cl qui seront les parties de cet angle total.

18. Nous nous bornons pour l'instant à ces premières nolions, et nous allons montrer comment les commencements de la science peuvent ôlre fondés sur elles. Ce ne sont pas les seules que nous serons obligés d'admettre par le simple sentiment de l'évidence; mais il n'y aurait aucun avantage à en parler quand le besoin ne s'en fait pas sentir, et il vaut mieux attendre, pour les énoncer, que l'application qu'on aura à en faire leur donne un intérêt qu'elles n'auraient pas eu auparavant. Et si parmi ces vérités qu'on n'a pu ramener à d'autres plus simples, et qu'on présente à l'acceptation immédiate de tous les hommes, il s'en trouve qui aient une apparence un peu hypothétique et qui ne frappent pas par un caractère assez éclatant d'évidence, il

l8 OBJET ET DONNÉES DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PIRES.

faudra, si l'on n'a pas assez de hardiesse d'esprit pour franchir lu passage avec confiance, s'arrêter à ce point douteux, ou Huit au moins n'aller au delà qu'en faisant ses réserves.

Les vérités fondées sur ces notions premières sont en nombre illimité, parée que chacune de celles que l'un découvre peut donner lieu à des combinaisons nouvelles, d'où résulteront de nouvelles conséquences, et ainsi de suite indéfiniment.

Le) sciences ont donc une étendue n laquelle l'homme ne peut affirmer qu'il y ait des bornes ; et cependant il en conuaii et possède les bases? lout ce qu'elles renferment est virtuellement compris dans ce petit nombre de principes dont il a le sentiment clair et distinct. Et ce senli-

d 'eux-mêmes, doit être regardé comme l'attestation de la réalité de ces choses, si l'on admet que le Créateur des hommes n'a pas voulu qu'ils fussent tous, et toujours, le jouet des mêmes illusions.