De cette proposition, dont la démonstration n'offra

nous devons nous borner à énoncer, résulte cette conséquence :

« Toute équation de degré quelconque m, à coefficients réels ou imaginaires, a m racines réelles ou ima-

« Tout polynôme de degré m, il coefficients réels ou imaginaires, est dccomposable, et d'une seule manière, eu m facteurs du premier degré ayant pour premier terme x, et pour second un nombre réel ou une expression imaginaire. »

En effet, toute équation de degré m ayant une racine a, réelle ou imaginaire, son premier membre sera divisible

cieuls réels ou imaginaires de la forme a -+- b v 7 — t . Ce quotient égalé à zéro aura nécessairement une r.acïne b d'après le théorème général,; il sera donc le produit de x — b par un quotient de degré m — ï. En continuant ainsi on parviendra à décomposer le premier membre en m facteurs du premier degré; d'où il suivra que l'équation aura m racines, réelles ou imaginaires, égales ou inégales : et nous avons démontré qu'elle ne pouvait en avoir un nombre plus grand, et que le polynôme quelconque qui forme son pre-

mier membre ne pouvait être décomposé que d'une seule manière eu facteurs du premier degré. '

225. Mais ces propositions ne sont pas indispensables pour procéder à la recherche des racines d'une équation quelconque, parce que les méthodes qu'on emploiera à cet effet entraîneront la démonstration quand elles réussiront ; ci si elles ne réussissent pas, la certitude qu'il y a une solution ne la ferait pas mieux trouver, et ne pourrait être utile qu'en donnant plus de confiance cl, par suite, plus de ténacité dans la recherche.

22C. Les plus grands géomètres se sont occupés de la résolution des équations numériques. Nous ne nous proposons pas ici de faire connaître avec détail les procédés qu'ils ont découverts; mais nous ne pouvons non plus nous dispenser d'en indiquer l'esprit, et d'en signaler en peu de mots les avanlagcs et les imperfections. \uus renverrons pour les détails et les démonstrations aux Traités spéciaux et aux Mémoires originaux.

Lcsracincs se partagent d'abord en deux classes distinctes, les réelles et les imaginaires.

Les réelles se partagent elles-mêmes en deux classes : les racines coin me n su râbles cl les racines incommensurables. Quanta leurs signes, il suffit de s'occuper de celles qui sont positives, parce que les racines négatives s'y ramènent, comme nous l'avons vu, en changeant x en — x.

227. Racines commc.nstirabUs. — La recherche des racines conimensurables n'offre aucune difficulté. Elle se ramène d'abord à celle des racines entières des équations. En effet, par une transformation qui n'a d'autre effet que de multiplier toutes les racines par un certain nombre entier, on ramène la résolution de toute équation dont les coefficients sont commensurablcs a celle d'une autre équa-

lion dont lous les coefficients sont entiers, cl le premier égal à l'unité. Or on reconnaii Facilement qu'une équation de celte forme ne peut Être satisfaite par un nombre commensurable non entier : toutes ses racines comme usurab les sont donc entières, et si l'on peut les trouver on connaîtra toutes les racines r o m me n su râbles de la proposée, en divisant les premières par un nombre entier connu.

La question, étant ramenée à la recherche des racines entières d'une équation, est devenue très-simple. En effet, toute racine entière doit diviser lu dernier terme, et, par conséquent, il n'y a qu'à essayer successivement lous les diiiseurs de rc nombre. >n réduisant ns essais au plus petit nombre possible. Nous n'e n dirons pas davantage sur ce point, et nous admettrons^ que timti'S les racines Kiiumrnsurahles de l'équation prop >sée uni été truiiïécs. et qu'on a divisé sou premier membre par les fat leurs du premier degré en x qui leur ("orrespotulent. Kt apri*s rette diviiion (in peut riinire «iJïfr À Ici iivmis rarim s iimnk i .lii i.l le quotient, auquel cas ou supprimerait les nouveaux facli urs correspondants; et l'on continuerait ainsi jusqu'à ce qu'on soit bien assuré que toutes les racines corn m en su râbles simples ou multiples ont été enlevées de l'équation.

Il ne reste plus alurs qu'à chercher les racines incommensurables, ce qui offre des difficultés beaucoup plus grandes.

228. Racines incommensurables. — Quelque marche qu'on suive dans celte recherche, on commence toujours par tacher de séparer toutes les racines, c'est-à-dire de trouver pour chacune deux nombres qui la comprennent entre elles, et n'en comprennent aucune autre. Si l'on y parvient, il existe divers procédés certains pour resserrer indéfiniment ces limites, et par conséquent pour connaître chaque racine à aussi peu près qu'on voudra. La première question à résoudre est donc la séparation «les racines.

354 SCIENCK DES «OMBRES.

Lagrange est ic premier qui l'ait résolue d'une manière rigoureuse, Ilformu une étjualiou qui ait pour racines toutes les différences deux à deux de celles de la proposée, supposées toutes inégales, ce qui est possible parce qu'on a des procédés généraux pour ramener lous les cas à celui-là; et il prend une limite inférieure de ses racines. Celle quantité étant moindre que la différence des racines les plus rapprochées, dans la proposée, si l'on substitue dans son premier membre des nombres croissant par degrés égaux à cette limile, on ne pourra passer par-dessus deux racines; il ne pourra y en avoir qu'une seule comprise entre deux nombres consécutifs, et quand cela arrivera on en sera averti par la différence des signes des deux résultats. Si

dond

)n procède ainsi c

n parlant do la lim

ite inférieure des

:s positives de la

proposée, jusqu'à

i la limite supé-

-, toutes les racii

. séparées; el ce

;s seules dont il s

)ccuper, puisque

les ra,

:ïnes négatives so

nt au signe près les

racines positives

de l'équation déduite de la proposée en changeant x en — x.

Pour la commodité, tant des substitutions des nombres cquidifférenls que des calculs qui suivront, Lagrange divise loules les racines par la différence de celle progression; les différences des racines, se trouvant divisées par ce même nombre, seront plus grandes que l'unité, et il suffira de substituer la suite des nombres entiers.

Les racines étant séparées, il les considère toutes successivement, cl y applique le procédé suivant :

Si a et n ■+- 1 désignent les deux nombres qui comprennent une seule de ces racines, on posera

l'équation en y sera du même degré que celle en X, mais

CIÏAFlTfln xxvm. a55

elle n'aura qu'une seule racine positive plus grande que l'unité; il sera donc facile de trouver les deux nombres entiers b et b -$- 1 entre lesquels elle est comprise. On posera alors

L'équation eu y' sera encore du même degré que celle en y et que celle en x, mais n'aura qu'une seule racine posilive plus grandi; que l'unité. Désignant par c et c + i les deux nombres entiers consécutifs entre lesquels elle est comprise, on posera

Si on s'arrêtait là, on aurait

y" élaut encore com

pris entre deux entiers consécutifs con-

nus; et l'on apprêt

fiera facilement les limites entre Ies-

quelles x sera comp

ris. Si elles ne sont pas assez rappro-

checs, on continuel

a d'appliquer le mime procédé; cl la

théorie des fraction

s continues, qui donne la mesure de

Au point de vue i

le la théorie pure, cette belle méthode

er. Elle ne demande que des opérations

qu'on sait effectuer,

et pour la dignité de la science il était

nécessaire de trouver un procédé qui conduisît avec certitude à la solution.

Mais la recherche de l'équation aux différences, ou aux carrés des différences, est très- laborieuse, et l'on a cherché avec plus ou moins de succès à l'éviter. La pratique y a

gagné dans bien des cas ; mais les incertitudes inévitables des nouveaux procédés otent à la méthode celte netteté ut cette précision qui distinguent celle de Lagrangc.

229. Fourier a donné des moyens généraux très-simples pour reconnaître si deux nombres donnés ne comprennent

aucune racine, ou s'ils peuvent en comprendre. Il fait con-

naître combien il peut au plus y en

avoir de comprises,

mais m albeureu sèment il peut y e

moindre. Si cela est, la différence de c

:es deux nombres est

un nombre pair, et indique autant de

racines réelles man-

quant dans la proposée; par ce moyc

chercher des racines dans les interva

qu'il ne pouvait y en avoir.

Pour opérer la séparation des racïi

ies qui peuvent être

dans un certain intervalle, il emploie

; des procédés d'une

exécution facile, mais subordonnés i

lux résultats immé-

riques successivement obtenus, et dont il n'est pas possible

de bien préciser l'effet. Lorsiju'il es!

. parvenu à séparer

toutes les racines réelles, les procédés

t pour approcher in-

défi ni ment de chacune d'elles compoi

■lent aussi quelques

tâtonnements et essais, dirigés il est v

rai vrrs un but bien

déterminé, mais dont on ne peut cale

rigueur. Quand la recherche est arrivée à un certain degré bien défini, la méthode d'approximation qu'il emploie est celle de Newton, mais considérablement perfectionnée, tant sous le rapport de la rapidité que des moyens de s'assurer des limites de l'erreur. Cette méthode, que Newton n'a appliquée qu'aux équations à une seule inconnue, mais qui pourrait l'être à toutes les équations en nombre quelconque, dont on connaît des solutions suffisamment approchées, consiste à substituer aux inconnues ces valeurs approchées respectives augmentées de quantités indéterminées, qui dans le cas que l'on considère doivent avoir