DE LA RÉSOLUTION" DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

222. Le principal objet (les formules générales osl de dispenser de répéter dans chaque cas particulier les mêmes raisonnements et les mêmes opérations, cl d'indiquer seulement celles qui .sont indispensables. On conçoit cependant qu'il pourrait y avoir plusieurs formes sous lesquelles se présenterait l'expression générale d'une même chose, suivant la manière dont on aurait dirigé la recherche. 11 faut ihnis ci; cas choisir celle qui est le plus appropriée à l'objet qu'où a en vue, et qui peut n'être pas toujours le même. Et cette remarque s'applique non -seulement aux racines des équations, mais, comme on le pourra voir plus tard, aux résultats de questions d'un ordre beaucoup plus élevé.

Ainsi, nous avons vu que la formule des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas qui semblerait le plus à l'abri de toute difficulté, dans le cas où ses trois racines sont réelles, se présente sous une forme imaginaire, que l'on démontre bien être réductible à une forme réelle, mais qui ne peut l'être qu'à la condition de résoudre une autre équation du troisième degré qui présenterait des difficultés analogues. Il est vrai que ce cas, qu'on appelle irréductible, est susceptible de transformations qui conduisent à des formes réelles ; mais c'est en introduisant des considérations géométriques, et en admettant la construction de Tables d'une très-difficile exécution.

Les équations du quatrième degré se ramenant au troisième, offriraient encore plus de difficultés à la réalisation

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numérique des formules générales. El on ne saurait beaucoup regretter de ne pouvoir obtenir de formules pour les racines des équations de degrés supérieurs au quatrième, parce que la difficulté du les appliquer ans ras particuliers ne ferait que s'accroître de ptusçn plus.

En conséquence, le problème général de la résolution des équations a dû se poser de cette manière :

« Étant donnée une équation d'un degré déterminé quelconque, dont les coefficients sont des nombres donnés quelconques, trouver des procédés généraux qui conduisent à la valeur exacte, ou aussi approchée qu'on voudra, de toutes ses racines. »

Pour découvrir ces procédés applicables à tous les cas particuliers, comme on en a déjà pour l'extraction des racines de degré quelconque, qui forme ni les cas les plus simples, il faut établir un certain nombre de théorèmes généraux, dont quelques-uns ont été démontrés dans les chapitres précédents.

223. La première question qu'il semble naturel de se faire, quoiqu'il ne soit pas indispensable de savoir y répondre, c'est si le problème qu'on se propose a toujours

racine. Cela a été démon tré pour les quatre premiersdegrésj mais en est-il ainsi pour les suivants, et peut-on affirmer que le problème difficile dont on se propose de trouver la solution est réellement susceptible d'en recevoir une.

Des théorèmes démontrés précédemment nous ont conduit à ces conséquences générales, que :

i° Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle, de sigue contraire à son dernier terme;

a" Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.

Il ne reste donc d'incertitude que pour les cas d'une équation Je degré pair dont le dernier terme est positif.

Or on est parvenu à démontrer qu'une équation de degré quelconque, à coefficients réets ou imaginaires de la forme a + &Y — i, peut toujours être satisfaite en substituant à l'inconnue un nombre réel, ou une expression imaginaire de cette même forme; les calculs étant toujours effectués suivant les règles convenues, et rappelées tant défais.